rentgen

Witam wszystkich grupowiczy!

Co to sie porobilo....wystarczy ze czlowiek dwa lata nie korzysta z uslug
Sluzby Zdrowia, uchyla sie od korzystania z darmowej pomocy udzielanej
przez panstwo, i juz: rewolucja, prosze Panstwa! ;)
Otoz dowiedzialem sie, ze mam "przyniesc rentgen" !
Hmm....spotkalem sie juz z wyrazeniem "zastosowac Cauchy'ego" (w domysle:
twierdzenie Cauchy'ego), ale NIE "zastosowac Cauchy" !
A tu.....czyzby Roentgen zaczal byc traktowany jak kakao?
Nieodmienny gdy traktowany jako nazwa zastepcza dla "wynikow badan
maloobrazkowych" (czy jak im tam...) ???

Moze koledzy mnie poratuja informacjami o tym ? Moze to tylko zjawisko
lokalne (znana dobrze studentom U.A.M. przychodnia przy ul.Piatkowskiej) ?

Powtarzam:
zamiast "rentgena" poproszono mnie o "rentgen"

swiatecznie pozdrawiam,
Skrzat                               "Has the dawn ever seen your eyes ?

http://free.polbox.pl/b/bartmal                               ELP: Tarkus

 

rentgen

Cytat:



#Otoz dowiedzialem sie, ze mam "przyniesc rentgen" !
#Hmm....spotkalem sie juz z wyrazeniem "zastosowac Cauchy'ego" (w domysle:
#twierdzenie Cauchy'ego), ale NIE "zastosowac Cauchy" !

No to jak? "przyniesc rentgena"? Jeszcze gorzej.

#A tu.....czyzby Roentgen zaczal byc traktowany jak kakao?

Jako skrot myslowy od "zdjecie rentgenowskie". BTW dlaczego rentgenowskie,
skoro nazwisko pisalo sie Ro"ntgen? Ja rozumiem ze w polskim nie ma
umlautow, ale nie wiem czy nie byloby lepszego rozwiazania...

GSN

granicą funkcji nieokreślonej.

Cytat:Nie wiem z jakich korzystasz podręczników , ale w moich pisze, że
granica funkcji w punkcie x0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
granica prawostrona równa jest lewostronnej.



To nie jest definicja, ale twierdzenie. Założeniem tego twierdzenia
jest m.in. takie, że granice bierzemy w punkcie x0, dla którego istnieje
otoczenie otwarte w R.
Przypadek funkcji x*lnx i x0 = 0 nie spełnia tego założenia.

Cytat:Inaczej z def. Cauchego
dla każdego epsilon0 musiałbyś znaleźć takie ro, że dla każdego x z
z otoczenia x0 o promieniu ro |f(x) - granica |<epsilon. Nie ma takiego
ro, bo dla lewostronnego otoczenia 0, f(x) nie istnieje .Więc 0 nie
może być granicą funkcji.Jak rozwiązać ten dylemat? Oto w sumie chodzi.



W definicji Cauchy'ego nie ma mowy lewostronnych otoczeniach.
(Podaj tytuł podręcznika, gdzie jest w def. C. coś o _lewostronnych_
otoczeniach)

Pozdrawiam
Tomek

granicą funkcji nieokreślonej.

Cytat:

| W definicji Cauchy'ego nie ma mowy lewostronnych otoczeniach.
| (Podaj tytuł podręcznika, gdzie jest w def. C. coś o _lewostronnych_
| otoczeniach)



Dodam: Aby definicja Cauchy'ego była stosowalna funkcja musi posiadać
otoczenie punktu x0, w ktorym jest określona. Tzn. dla każdego x (i
tego z lewej i tego z prawej strony punktu x0) odległego od x0 o mniej
niż promień otoczenia musi istnieć f(x).
Tutaj nie ma takiego otoczenia (bo dla każdego x<0 f(x) nie istnieje)

Cytat:No cóż. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas "Matematyka dla studentów
politechnik -definicje , twierdzenia , wzory" wyd. X str. 54:
definicja Cauchy'ego granicy lewostronnej właściwej w punkcie (etc).



Ten podręcznik ma jeszcze podtytuł Analiza Matematyczna.

 

aproksymacja

Cytat:
| Jeśli wiemy, że błędy nie mają rozkładu
| normalnego lub mocno to podejrzewamy, nie używajmy metody
| najmniejszych kwadratów, jako że może to prowadzić do niezgodnych
| estymatorów
jezeli bledy nie maja rozkladu normalnego ale sa generowane przez proces
losowy, dla ktorego zachodzi centralne twierdzenie graniczne
to MNK dalej bedzie zgodna o ile jest zgodna przy zalozeniu normalnosci.
[...]
Problem z nienormalnymi bledami jest tylko taki, ze obliczone wariancje
parametrow beda bledne.



Rozumiem, że pisząc o procesie, "dla którego zachodzi twierdzenie
graniczne" masz na myśli błędy pochodzące z rozkładu o istniejących
i zbieżnych dwu pierwszych momentach. No to weźmy sobie
rozkład z długimi ogonami (np. Cauchy'ego), dla którego drugi,
tym bardziej zaś i drugi, i pierwszy moment nie będą zbiezne.
Stosowanie metody najmniejszych kwadratów w tej sytuacji to
jest begging for a disaster. Taką właśnie sytuację miałem na
myśli pisząc powyższe, ale to widać zboczenie zawodowe. Dzięki
za uściślenie.

Paweł Góra
Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.

do matematykow (chodzi o twierdzenie)

Cytat:

Nie jestem pewien i prosze o potwierdzenie.
Czy ktos moze mi powiedziec czyje to jest twierdzenie?



Ja znam takie twierdzenie zwane twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym [a, b] i f(a)f(b) < 0
to istnieje przynajmniej jeden punkt c należacy do (a,b) taki, że f(c) = 0.
Ponadto jeżeli w przedziale otwartym (a, b) funkcja jest różniczkolna i f '
nie zmienia znaku na całym przedziale (a, b) to punkt c taki, że f(c) = 0
jest tylko jeden.

Twierdzenie to stosuje się powszechnie w metodach numerycznych. Dzięki niemu
mają sens takie metody jak metod bisekcji, regula falsi, siecznych i
stycznych, Bernoulliego i pewnie wiele wiele innych.

Pozdrawiam
Maciek

Brak pomyslu

Cytat:| Srednia arytmetyczna jest nie mniejsza od geometrycznej - czy
| maturzysta moze posluzyc sie tym twierdzeniem?
| chyba trzebaby je najpierw udowodnic.......

po co?
jakby tak kazde twierdzenie udowadniał to...
jak ktos juz je udowodnił i nazwał nawet...
to raczej sie nie myli chyba ;-)

a twierdzenie to nosi nazwę:
"nierówności Coshiego"



ROTFL:

Chyba Cauchy'ego:)

Pozdrawiam
Bartek

twierdzenia znane i powszechnie znane (OM)

Witam Grupe,

poniewaz zbliza sie olimpiada, to nasunal mi sie problem wykorzystywania
twierdzen (ale i generalnie chodzi tez o kazdy egzamin z matematyki).
Bo jakich mozna wtedy uzyc bez dowodu, a jakie trzeba udowadniac ?

Czy mozna np zalozyc, ze powszechnie znane twierdzenia maja jakas nazwe (np.
chinskie tw. o resztach, tw. o okregach, nierownosc Cauchy'ego, ...itd) a
korzystajac z nich, nie trzeba ich udowadniac ?

p.s. Na mocy Wielkiego Twierdzenia Fermata otrzymujemy teraz ... ;)

twierdzenia znane i powszechnie znane (OM)

Cytat:Witam Grupe,

poniewaz zbliza sie olimpiada, to nasunal mi sie problem wykorzystywania
twierdzen (ale i generalnie chodzi tez o kazdy egzamin z matematyki).
Bo jakich mozna wtedy uzyc bez dowodu, a jakie trzeba udowadniac ?



AFAIK kiedys ktos z Komitetu powiedzal mi cos w rodzaju: "osoby, ktore
sprawdzaja zwykle znaja te twierdzenia" - wniosek: mozna stosowac wszystko,
co zna sprawdzajacy. Te zadania nie sa teoretyczne i nie wynikaja ad hoc z
zadnego twierdzenia (przynajmniej nie powinny)

Cytat:Czy mozna np zalozyc, ze powszechnie znane twierdzenia maja jakas nazwe
(np.
chinskie tw. o resztach, tw. o okregach, nierownosc Cauchy'ego, ...itd) a
korzystajac z nich, nie trzeba ich udowadniac ?



Znowu, AFAIK wszystkich tych mozna uzywac. Nierownosc Cauchy'ego bywa
wyjatkowo przydatna

Z drugiej strony kiedys ktos inny sugerowal, ze jak zostanie czas to takie
trywializmy jak "wzor wlaczen-wylaczen szacuje raz z gory, raz z dolu" mozna
udowodnic "bo to nic nie kosztuje".

Cytat:p.s. Na mocy Wielkiego Twierdzenia Fermata otrzymujemy teraz ... ;)



to chyba do zadania, ktorego tresci nie zrozumiales ;-)

Pozdrawiam,
Marek

twierdzenia znane i powszechnie znane (OM)


Cytat:Witam Grupe,
poniewaz zbliza sie olimpiada, to nasunal mi sie problem
wykorzystywania twierdzen (ale i generalnie chodzi tez o kazdy
egzamin z matematyki).



Każdy egzamin ma swoje prawa.

Cytat:Bo jakich mozna wtedy uzyc bez dowodu, a jakie trzeba udowadniac ?



Kiedyś na OM było tak, że można było używać wszystkiego,
a jak coś było bardzo niestandardowe, to się podawało źródło.

Cytat:Czy mozna np zalozyc, ze powszechnie znane twierdzenia maja jakas
nazwe (np. chinskie tw. o resztach, tw. o okregach, nierownosc
Cauchy'ego, ...itd) a korzystajac z nich, nie trzeba ich udowadniac ?



Raczej tak. Chyba, że wykorzystasz je do faktu,
z którego się go dowodzi (np. regułę de l'Hospitala do sinx/x ;))

Cytat:p.s. Na mocy Wielkiego Twierdzenia Fermata otrzymujemy teraz ... ;)



No tego dowodu mogą nie znać, więc możesz się nauczyć...

Uzwarcenie R

Cytat:ciągłości jest związane z metryką, a w R* moduł przestaje nią być
(odległość
między +oo i -oo?). Co robimy?



A jak zamiast dziedziny będącej prostą wezmę sobie taką rozmaitość z R^2 -
prosą sklejonąw punkcie +oo i -oo ?

Cytat:1) Możemy bezpośrednio wykazać j.ciągłość funkcji f - stosując np. ciągową
definicję j. ciągłości (o której, niestety, bardzo rzadko się wzmiankuje,
a
która jest bardziej uchwytna i - najczęściej - bardziej praktyczna od
epsilonowo-deltowej).



gdzie można zanleźć, znam tylko w stylu Cauchy'ego...

Cytat:2) Możemy spróbować zastosować tw. Cantora. Funkcja f jest z założenia
ciągła ze względu na metrykę euklidesową. Jest zatem ciągła ze względu na
metrykę d(x,y)=|arctg(x)-arctg(y)| (metryki przeciwdziedziny w ogóle nie
ruszamy). Uzwarcamy R i - w sposób naturalny - rozszerzamy metrykę d do
d*.
Tak rozszerzona metryka pozwala rozszerzyć funkcję d-ciągłą f  do funkcji
d*-ciągłej f1. Stosujemy twierdzenie Cantora do funkcji f1 - wiemy teraz,
że
f1 jest j. c. na (R*,d*). Zawężamy się do przestrzeni (R,d) - oczywista, f
jest na niej j. c. Wreszcie, stosując np. ciągową definicję j. ciągłości i
lipschitzowskość arctg pokazujemy, że f jest j. c. również w przestrzeni
euklidesowej.
Reasumując, twierdzenie Cantora można stosować w tym przypadku - ale z
odrobiną namysłu.



jak wszystko ;-)

Pozdrowienia

Walter Rusin

Dowody na zagadnienia z funkcji zespolonych

Cze wszystkim.

Bylbym niezmiernie wdzieczny za nastepujace dowody na:

1.Twierdzenie o rownowaznosci granic dla ciagu zespolonego
2.Twierdzenie o zbieznosci bezwzglednej szeregu zespolonego
3.Twierdzenie o warunkach Cauchy-Riemanna
4.Twierdzenie o zamianie calki zespolonej na calke Riemanna
5.Wzor calkowy Cauchy'ego

Dowody na zagadnienia z funkcji zespolonych


Cytat:Cze wszystkim.

Bylbym niezmiernie wdzieczny za nastepujace dowody na:

1.Twierdzenie o rownowaznosci granic dla ciagu zespolonego
2.Twierdzenie o zbieznosci bezwzglednej szeregu zespolonego
3.Twierdzenie o warunkach Cauchy-Riemanna
4.Twierdzenie o zamianie calki zespolonej na calke Riemanna
5.Wzor calkowy Cauchy'ego



czesc
powinno byc w
F.Leja "Funkcje zespolone" (wstep do funkcji analitycznych)

N.

Dowody na zagadnienia z funkcji zespolonych


Cytat:

| Cze wszystkim.

| Bylbym niezmiernie wdzieczny za nastepujace dowody na:

| 1.Twierdzenie o rownowaznosci granic dla ciagu zespolonego
| 2.Twierdzenie o zbieznosci bezwzglednej szeregu zespolonego
| 3.Twierdzenie o warunkach Cauchy-Riemanna
| 4.Twierdzenie o zamianie calki zespolonej na calke Riemanna
| 5.Wzor calkowy Cauchy'ego

czesc
powinno byc w
F.Leja "Funkcje zespolone" (wstep do funkcji analitycznych)

N.



Dzieki. jutro pobiegne do biblioteki. Ale nie jestem pewny czy ja znajde.
Moze masz skaner i ksiazke? wtedy by bylo prosciej.

twierdzenia sinusów i cosinusów

Cytat:

PS.
Czy ktos moze mi wyjasnic, dlaczego nazywa sie je twierdzeniem
cosinusow - w liczbie mnogiej, skoro wystepuje w nim tylko
jeden cosinus?



Bo ``twierdzenie Kosinusa'' zdaje sie sugerowac autorstwo tegoz...

A tak przy tej okazji, jak wiadomo, analiza zespolona obfituje w twierdzenia
Cauchy'ego.  I nie bylo w tym nic szczegolnie dziwnego --- wierzylbym w to
do dzis, gdyby ktoregos dnia wykladowca nie wspomnial, ze czesc tych
twierdzen powstala juz po smierci Cauchy'ego, a jego nazwisko przypisuje
sie ze wzgledu na szacunek, zwiazek tych twierdzen z ``prawdziwymi''
twierdzeniami Cauchy'ego, itp.

Nadmienie, ze opisywane powyzej zdarzenie mialo miejsce dawno temu,
wiec moze zawierac merytoryczne niescislosci.

twierdzenia sinusów i cosinusów

Cytat:A tak przy tej okazji, jak wiadomo, analiza zespolona obfituje w
twierdzenia
Cauchy'ego.  I nie bylo w tym nic szczegolnie dziwnego --- wierzylbym w to
do dzis, gdyby ktoregos dnia wykladowca nie wspomnial, ze czesc tych
twierdzen powstala juz po smierci Cauchy'ego, a jego nazwisko przypisuje
sie ze wzgledu na szacunek, zwiazek tych twierdzen z ``prawdziwymi''
twierdzeniami Cauchy'ego, itp.



Ale Cauchy to byl geniusz. Chyba mozna powiedziec - wspoltworca analizy,
nie?

zadania z metod numerycznych rown.rozn

Cytat:
Chodzi mi raczej o bardziej teoretyczne
problemy do rozwiazania ( typu: wyprowadz
schemat RK4 ,sprawdz zbieznosc itp )



OK, a schemat RK4 - czy ogólnie, schemat
na wszytskie jawne czteropunktowe metody RK
_umiesz_ wyprowadzić? A na niejawne?

Chcesz więcej? No to ustalmy notację.
Rozwiązujemy problem Cauchy'ego
dy/dt = f(t,y)
y(0) = y_0

f, y należą do R^n. Zakładamy, że założenia twierdzenia
o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania są spełnione.

s-punktowa metoda RK dana jest przez

y_{n+1} = y_n + h sum_{i=1}^s w_i k_i

gdzie

k_i = f(t_n + a_i h, y_n + h sum_{j=1}^s b_{ij} k_j)

oraz w_i = 0.

Teraz zadania:

Udowodnij, że sum_{i=1}^s w_i = 1.

Udowodnij, że sum_{i=1)^s b_{ij} = a_i.

Wyprowadź wzory na rodzinę wszystkich (jawnych i niejawnych)
metod RK czteropunktowych.

Znajdź wyrażenie na współczynnik wzmocnienia w metodach RK.

Znajdź obszary stabilności wszystkich dwu-, trzy- i czteropunktowych
jawnych metod RK.

Udowodnij, że tylko metody niejawne mogą być A-stabilne.

Znajdź rząd i obszar stabilności niejawnej metody punktu
środkowego.

Paweł Góra
Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.

problem z granicą

Cytat:Można też policzyć, że 1^2 + 2^2 + ...+ n^2 = (1/3)n^3 + O(n^2)
i dalej też łatwo.



hmm, a co oznacza symbol O(n^2) ?

bo w ogole ja widze ze to nie tak łatwo z tym ciagiem... ja jeszcze nie
potrafie liczyc całek...
nie znam innych twierdzen dotyczacych ciagow poza kilkoma podtawowymi typu:
tw 3 ciagow, d'alemberta, cauchy'ego i to tyle co potrafie jak na razie...

w kazdym razie dzieki za odpowiedzi

paweł

rownania funkcyjne

mam pytanie, jest takie rownanie
f(m+n) = f(m)+f(n) dla m,n in R
Oczywisice f jest funkcja liniowa postaci f(x) = mx m in R
wydaje mi sie ze jest to rownanie Cauchy`ego, tylko kwestia taka
czy moge kraktowac to jako twierdzenie i bez dowodu powiedziec
ze f(x)  = mx, czy jeszcze nalezy to jakos dalej ciagnac?
Mam gdzies tam dowod na to, ale nie bardzo kumam tego motywu:
"poniewaz mamy f(t) = tf(1) to f jest postaci f(x) = mx m in R
tak wiec czy jest jakies takie twierdzenie Cauchy`ego? Jesli tak, to
bede wdzieczny za namiary na to twierdzenie, abym mogl je zacytowac.

kryteria zbieznosci szeregu


Cytat:czy jesli przy sprawdzaniu zbieznosci szeregu z kryt. Cauchy'ego albo
d'Alamberta uzyskam granice w plus nieskonczonosci, to moge na tej podstawie



Jeśli uzyskasz +oo, to wyrazy szeregu, śmiem twierdzić, nie spełniają
warunku koniecznego...

Funkcja Q i twierdzenie Q(n^a)=a*Q(n) Ł. Kalbarczyka


Cytat:Niech  f(n)  bedzie liczba  k in {1 ... n},
ktore sa wzglednie pierwsze z liczba naturalna  n.
Na przyklad  fi(n)=2 <==n jest liczba pierwsza.
Łukasz Kalbarczyk wprowdzil nastepujaca
funkcje teorioliczbowa:
DEFINICJA (Ł. Kalbarczyk)  Q(n) = min(t : fi^t(n)=1}.



Ja nie wiem czy to tak wszystko do końca jest, że "ja"...
Bo zadanie na kolokwium to wymyśliłem nie ja :
No i nie wiem, czy to twierdzenie jest całkiem nowe,
ale były przecież Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza-
i piętnastu innych, więc niech będzie, że nowe :)
Gdyby jednak było powszechnie znane, zad. na kolokwium
pewnie by nie było (wystarczyłoby do wzoru podstawić).

Nie mniej ja dziękuję tez za rozwinięcie tematu -
po 2 latach nie został on zapomniany.

Twierdzenie o trzech funkcjach?

Cytat:Jest to prawie dokladnie to samo i wynika prawie natychmiast z definicji
Heinego granicy. Mianowicie jesli :

f(x)<g(x)<h(x) i lim f(x)= lim h(x) to lim g(x)=lim f(x);



Mniejsze lub równe.

Cytat:

Sprawa jest prosta. Jak widac wynika z tego od razu twierdzenie o 3 ciagach,
gdyz wystarczy wziac funkcje z N --R ...



Jeśli chcesz, aby dostać stąd jako wniosek tw. o 3 ciągach, należałoby
w dowodzie raczej posłużyć się definicją Cauchy'ego. Dowodząc z def. Heinego
odwołujemy się do tw. o 3 ciągach, więc nie możemy wyciągać go wtedy jako
wniosek. Spróbujmy więc z def. Cauchy'ego. Załóżmy więc np., że x-+oo i granica
funkcji f i h jest równa G i jest skończona. Ustalmy E0. Łatwo sprawdzamy, że
istnieje takie Din R, że dla xD mamy G-E<f(x)<G+E, G-E<h(x)<G+E.
Zatem dla xD jest G-E<f(x)<g(x)<h(x)<G+E, skąd |g(x)_G|<E. Z def. Cauchy'ego
mamy więc lim_{x-+oo}g(x)=G.

Inne przypadki pomijam.

Fajne zadanko (nie prosba o rozwiazanie)

Cytat:
[ciach]
Iloczyn nieskonczony (1+a_1)(1+a_2)... z dodatnimi a_n jest zbiezny
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiezny jest szereg a_1 + a_2 + ....

Z powazaniem
Marek Szyjewski

                 My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!



Ciekawe twierdzenie. Pokusilem sie o maly dowodzik:

Dla wyrazow dodatnich w jedna strone jest latwo, bo
(1+a_1)(1+a_2)... a_1 + a_2 +...

(dla wyrazow ujemych tw. jest falszywe - podstawmy np. -1/2 )

A w druga...

Po chwili zastanowienia proponuje tak (dla wyr. wiekszych od -1):

Dla kazdego n (z nier. Cauchy'ego):

(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n) <= [(a_1+a_2+...+a_n+n)/n]^n =
= [ (S_n + n)/n ]^n = (1 + S_n/n)^n

skad ze zbieznosci ciagu S_n (sum czesciowych) i ze zbieznosci
ciagu (1+S/n)^n wynika zbieznosc ciagu (1+a_1)(1+a_2)...

Dobrze ?

To juz mamy oszacowanie:

2< (1+1/2)(1+1/4)(1+1/8)... < e < 2.72

Teraz wypadaloby policzyc dokladna granice.

Rozwijamy iloczyn tak jak wielomian (mozemy sie wspomoc wzorami Vieta).

I dochodzimy do calkiem skomplikowanych rachunkow.

Poczatkowe wyrazy to:
1 + 1 + 1/3 + 1/3*1/7 + 1/3*1/7*1/15 + 1/3*1/7*1/15*1/31 + ...
(chyba, jesli sie gdzies nie pomylilem)

Te sume juz latwiej oszacowac, ale obliczyc ?

nierówność bernouliiego <-> nierówność cauchy'ego ??

Witam serdecznie.

Otóż zastanawiam sie jak udowodnić równoważność tych dwóch twierdzeń

Bernouliego (1 +a)^n = 1+na
Cauchy'ego - Średnia geometryczna jest mniejsza od arytmetycznej

no i moje usilne starania narzie doprowadzają mnie tylko do tego że obie
średnie są mniejsze od największego elementu :/

pomóżcie proszę
Łukasz

nierówność bernouliiego <-> nierówność cauchy'ego ??

Cytat:
Witam serdecznie.

Otóż zastanawiam sie jak udowodnić równoważność tych dwóch twierdzeń

Bernouliego (1 +a)^n = 1+na
Cauchy'ego - Średnia geometryczna jest mniejsza od arytmetycznej

no i moje usilne starania narzie doprowadzają mnie tylko do tego że obie
średnie są mniejsze od największego elementu :/

pomóżcie proszę
Łukasz



Student PPT na PWR ? Też to mamy do udowodnienia :]

nierówność bernouliiego <-> nierówność cauchy'ego ??

Proszę skorzystać  z  nierówności :  ( (1 + nx)*1* 1*...*1)^{1/n} leq (1 +
x),
gdzie  po lewej stronie występuje iloczyn n-czynników.
Pozdrawiam
Janusz Chojnacki

Cytat:

Otóż zastanawiam sie jak udowodnić równoważność tych dwóch twierdzeń

Bernouliego (1 +a)^n = 1+na
Cauchy'ego - Średnia geometryczna jest mniejsza od arytmetycznej

no i moje usilne starania narzie doprowadzają mnie tylko do tego że obie
średnie są mniejsze od największego elementu :/

pomóżcie proszę
Łukasz



Rozkład bez EX

Cytat:
Problem polega na tym, że ciąg momentów liczonych z coraz większej
próbki nie musi zbiegać. W ten sposób powinno objawiać się
doświadczalnie nieistnienie momentu.
[...]
Myślę właśnie, że sensowność objawia się zbieżnością.



No właśnie. A jeśli mamy do czynienia z pomiarami, w których
ciągi momentów się nie zbiegają - czy to oznacza, że wyniki
są bezsensowne? Żeby nie powtarzać argumentów z rozkładem
Cauchy'ego (to, co Korvin pisze, to postać twierdzenia granicznego
dla tych rozkładów; można to uogólnić na inne rozkłady stabilne),
podam przykład "z życia": otóż badając pewne choroby pasożytnicze
u ludzi (w Afryce, gdzie problem dostępu do czystej wody
jest bardzo poważny) i u bydła stwierdzono, że wariancja rozkładu
ilości pasożytów (parasite burden) u poszczególnych chorych
osobników nie zbiega się wraz ze zwiększaniem rozmiarów próbki.
To nie jest jakiś tam model, to są "twarde" dane eksperymentalne
(epidemiologiczne). Dane takie sugerują, że proces należałoby
modelować przy użyciu rozkładu o zbieżnym pierwszym i rozbieżnych
wyższych momentach. Nie ma w tym nic "bezsensownego", ot, po
prostu tego typu rozkłady tu akurat pasują (można zresztą podać
przypuszczalne wyjaśnienie dlaczego akurat takie pasują, ale to

"sensowności wyników" silnie zależy od kontekstu.

Paweł Góra
Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.

rotacja dywergencji gradientu pola

Cytat:
| czyz to nie jest zabawne:-))
| tego typu dowpcipy opowiadalismy sobie na przerwch wykladow  matemetyki
| Waldek M.



Znam inny dowcip, strasznie mnie smieszyl w szkole sredniej: udowodnij
twierdzenie Cauchy'ego ;)))

PB

Linuks ponad wszystko ???


Cytat:Ano. Wieczór sederowy u przyjaciół ojca w Paryżu nadal mile wspominam,
ale to oczywiście nie rzutuje i nie stanowi ;-



Co to jest wieczór sederowy (na literówkę nie wygląda)?

Cytat:2. Jeżeli znajdziesz się między dwoma policjantami idącymi do tego samego
komisariatu, to też do niego dojdziesz (twierdzenie o zbieżności ciągu
zawartego między dwoma ciągami które maja tę samą granicę :) )



Czy to nie jest czasem tw. Cauchy'ego?

[2008L] Lista nr 10

ma ktoś dowód twierdzenia Cauchy'ego (zad 7) ?
Tylko nie ten z ważniaka bo w nim nie rozumiem jednego przejścia (tego gdzie wyciągamy sumę przed det):
edit do komentarza adiego :
Tak, dokładnie tu jest ten dowód :
http://wazniak.mimuw.edu....d_7:_Wyznacznik

Coś Śmiesznego


Przychodzi ciąg Cauchy'ego w przestrzeni zwartej do lekarza, a lekarz
pyta:
- Czemu pan jest taki ograniczony?
----
Heisenberga zatrzymuje policja. Funkcjonariusz podchodzi do samochodu i pyta - - Wie pan ile pan jechał ?
- Nie, ale za to wiem gdzie jestem.
---
Pies bernardyn biegnie z prędkością 10 km/h i niesie pudełko 10 płytek DVD o pojemności 4,7 GB każda. Czy będzie on przesyłał dane szybciej niż sieć Fast Ethernet (100 Mb/s) na odcinku 8 km? Dlaczego nie stosuje się psów w sieciach komputerowych?
----
ale kto mi to wytlumaczy jest mistrzu :ph34r:
Matematyk, Fizyk i Inżynier otrzymali identyczny problem do rozwiązania:
Udowodnić, że wszystkie liczby nieparzyste większe niż dwa są pierwsze.
Rozwiązali:
Matematyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie -
sprzeczność - twierdzenie jest fałszywe.
Fizyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 nie - błąd przypadkowy eksperymentu, 11 jest pierwsza...
Inżynier: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 jest
pierwsza, 11 jest pierwsza...

SPOTKANIE

hehe Drecza ten pomysł, żeby każdy zabrał głos nie jest zbyt trafny, bo ja aktualnie w głowie mam tylko różniczki, ciągi, szeregi, funkcje, Twierdzenia Cauchy'ego, Leibnitza i innych podobnych pozdro i do piątku

Pytania na Egzaminy..

Na przedterminie z metod matematycznych fizyki, były następujące pytania:
1) Operatory samosprzężne i ich własności (z dowodami)
2) Podać definicję zbieżności punkotwej, jednostajnej i w sensie wartości średniej.
3) Omówić transformatę Fouriera.
4) Twierdzenie Cauchy'ego z dowodem i twierdzenie Cauchy'ego-Goursata (bez dowodu).
5) Podaj pełną informację o transformacie Hilberta.
Pytania są oceniane w skali 0-2 pkt z krokiem 0.5pkt, zaliczenie od 2.5 pkt.
Jak tylko znjade jakis aparat lub skaner to dorzuce opracowane recznie pytania, na podstawie opracowania Konrada Kruczynskiego wykladow prof. MAcieja Blaszaka Metody Matematyczne Fizyki, oraz Matematyki w Fizyce Klasycznej i Kwantowej (Byrona, Fullera. W związkim z szybkim tempem opracowywania (jedna noc i pół dnia), notatki te nie są opracowane w stopniu dostatecznym, ale jeśli ktoś uzna, że mogą mu być potrzebne, można ich użyć jako wyjsciowe materialy.

Egzamin z Analizy

3. Definicja zbieznosci ciqgu liczbowego.
4. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa (z dowodem).
5. Ciqgi Cauchy'ego i dow6d zbieznosci ciqg6w Cauchy'ego w zbiorze liczb
rzeczywistych. odpowiedzi to tych trzech znajdziecie:

http://www.math.uni.wroc.pl/~glowacki/analiza1B/wyklad2.pdf

Egzamin z Analizy

8. Definicja iloczynu Cauchy'ego szereg6w, twierdzenie Cauchy'ego.

http://wms.mat.agh.edu.pl/~zankomar/wyklady/Wyklad17.htm

9. Granica funkcji rzeczywistej w punkcie, ciqgJosc funkcji w punkcie, funkcje
ciqgJe (definicje).

http://portal.wsiz.rzeszow.pl/plik.aspx?id=2379

TEMAT NR 1 :D

Zagadnienia egzaminacyjne z analizy matematycznej I
1. Aksjomatyka ciaJa liczb rzeczywistych.
2. Definicja zbioru liczb naturalnych, dow6d nieograniczonosci tego zbioru w
zbiorze liczb rzeczywistych.
3. Definicja zbieznosci ciqgu liczbowego.
4. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa (z dowodem).
5. Ciqgi Cauchy'ego i dow6d zbieznosci ciqg6w Cauchy'ego w zbiorze liczb
rzeczywistych.
6. Kryteria zbieznosci szereg6w liczbowych: D'Alemberta i Cauchy'go (dowody).
7. Twierdzenie 0 zbieznosci szeregu naprzemiennego (dow6d).
8. Definicja iloczynu Cauchy'ego szereg6w, twierdzenie Cauchy'ego.
9. Granica funkcji rzeczywistej w punkcie, ciqgJosc funkcji w punkcie, funkcje
ciqgJe (definicje).

Pytania z egzaminu

2 zestwaw
1:Układy równań liniowych algebraicznych. Twierdzenie Cramera.
2:Co to jest płaszczyzna; zad. to dwie podanie proste l1 i l2 są na płaszczyznie i napsac równanie płaszczyzny.
3:Przyrost argumentu i funkcji. Iloraz różnicowy funkcji. Pochodna funkcji. i obliczyc pochodna y=x^2+x z def.
4:Rozwiązanie szczególne równania jednorodnego y'=2xy/1+x^2 y(-2)=1
5:Definicja Cauchyego granicy funkcji.
tylko troche inna kolejnosc była

Analiza 3 PILNE!

Zdawalność niezła
System punktacji amerykański - średnia z wyników dwóch najlepszych studentów stanowi 100% możliwych do uzyskania punktów, a potem już standardowe progi.
Nie pamiętam zadań, ale jest wymagana znajomość twierdzeń, definicji, przykładów jak i ogólne orientowanie się w materiale, zrozumienie.

Nie pamiętam zadań, ale wyglądają mniej więcej tak (oczywiście są odpowiednio trudniejsze):
Funkcja różniczkowalna:
[ ] a) jest ciągła,
[ ] b) ma punkt skupienia,
[ ] c) jest monotoniczna,
[ ] d) spełnia warunek Lipschitza.

Przestrzeń spójna:
[ ] a) jest ograniczona,
[ ] b) jest zwarta,
[ ] c) każdy ciąg Cauchy'ego elementów tej przestrzeni jest zbieżny.

Na każde pytanie trzeba odpowiedzieć tak nie. W niektórych trzeba coś policzyć, poprzekształcać, ale nie w za dużym zakresie. Pytania są podobne do tych co były w materiałach przygotowawczych na ANA1, ANA2, tyle że tu trzeba odpowiedzieć tylko TAK/NIE, a tam trzeba było to szczegółowo uzasadnić, dlatego jest ich odpowiednio więcej.

Myślę, że nie powinno być trudno. Wystarczy trochę się przygotować, przemyśleć materiał, pamiętać trochę ANA1 i ANA2 i przejrzeć wszystko. Morderczych dowodów np. (chyba) o funkcji odwrotnej (czy jakoś tak) i tych innych kolosów nie ma.

Mimo to jakby Ci się nie udało i nie zawalisz kompletnie to masz szansę na dopytkę. Profesor Skrzypczak zdecydowanie jest w porządku i nie będzie niepotrzebnie się pastwić nad Wami. Przynajmniej mi się tak wydaje

Całka z funkcji zespolonej

Twierdzenie całkowe Cauchy'ego - niewiele więcej tu można dodać, jeżeli chodzi o dowód. A jeżeli chodzi o taką "praktyczną" interpretację, która może pomóc Ci to zrozumieć, to w żadnym wypadku nie kojarz sobie tego z polem powierzchni. Zdecydowanie lepiej interpretować płaszczyznę zespoloną jako pole wektorowe (gdyż w istocie płaszczyzna zespolona "zachowuje się" jak płaskie pole wektorowe - można nawet dla niej znaleźć skalarny potencjał zespolony). Wtedy dużo bardziej logiczne staje się, że wartość całki nie zależy od drogi całkowania, a jedynie od początkowego i końcowego punktu, zaś całka po konturze zamkniętym jest równa (co jest oczywiste dla p. wektorowego) zero. (Oczywiście to wszystko pod warunkiem, że w obszarze objętym konturem całkowania nie ma osobliwości )

Grupa abelowa

A mo?e to pomo?e: Twierdzenie Cauchy'ego: Je?li p jest liczb? pierwsz? oraz G jest grup? skonczon?, której rz?d jest podzielny przez p, to w grupie G istnieje element, którego rz?d jest równy p.
To jest pocz?tek. Pewnie da sie to rozwi?zaa w jednej linijce ale mia3em do?a dawno do czynienia z algebr? i moge nie pamietaa. Mo?naby wytoczya cie?k? artylerie i twierdzenie Sylowa a z niego wniosek: Gdy p jest liczb? pierwsz? i w skonczonej grupie G istnieje dok3adnie jedna p-podgrupa Sylowa P , to P jest dzielnikiem normalnym grupy G. A dzielnik normalny to co? jak najbardziej abelowego. A ta podgrupa Sylowa to ca3e G. Ale mo?e co? zapl?ta3em?

Proste zadanie matematyczne...

Cytat: matematyka i fizyka zawsze sie przydadzą, na pewno w przyszłości jeszcze zdołasz to wykorzystać... choćby na studiach.



Co do matematyki to nawet mój ćwiczeniowiec stwierdził, że nie wiadomo po co nam to wszystko. Jedyne co biologom może być przydatne to dokładne opanowanie statystki. A my zamiast tego wałkujemy ciagi, szeregi, macierze(choc te "matriksy" akurat mi sie podobaja ), całki i inne dziwne rzeczy. Facet jest na granicy załamania, kiedy usiłuje nam wytłumaczyć tajniki powiedzmy twierdzenia Cauchy'ego, a cała grupa wpatruje sie w niego wzrokiem pełnym niedowierzania
Ale nie ma co się przejmować- jak znam życie bedzie gorzej.

A. Szadkowska - opinie

To jeszcze raz ja..

Zbliza sie kolokwium z matematyki i ogolnie jak patrze na teorie do nauczenia to jest to po prostu KOSA.
Czy moglby ktos, kto mial matematyke z dr inz. A. Szadkowska okreslic ktorych twierdzen/definicji moge sie spodziewac na kole? Oto lista wszystkich pojec wyroznionych przez A.Szadkowska:

*def szeregu
*warunek konieczny zbieznosci szeregu
*def szeregu harmonicznego
*tw. o szeregu harmonicznym
*kryteria zbieznosci i rozbieznosci szeregu
*zbieznosc bezwzgledna
*zbieznosc warunkowa
*def zbioru liczb zespolonych
*def postaci kartezjanskiej liczb zespolonych
*def modulu
*argument i argument glowny
*postac trygonometryczna liczb zespolonych
*wzor Moivre'a
*def pierwiastka stopnia n-tego liczb zespolonych
*tw. o pierwiastkach liczby zespolonej
*def pochodnej
*interpretacja geometryczna pochodnej
*rozniczkowalnosc a ciaglosc
*tw. Lagrange'a
*def ekstremum lokalnego funkcji w punkcie
*warunki konieczne i wystarczajace istnienia ekstremum lokalnego funkcji w punkcie
*def granicy funkcji
*def funkcji ciaglej w punkcie i wlasnosci funkcji ciaglej
*tw. o granicy funkcji ( def Heinego, tw. Cauchy'ego)

Chodzi mi o to czy ktos pamieta jeszcze jakie pojecia czesto sie powtarzaly na kolokwiach u A. Szadkowskiej z w/w materialu..

Z gory wielkie dzieki;-) I naprawde prosze o pomoc

A KAZDY DOSTANIE OPA TYLKO MUSI WEJSC TERAZ TIO JEST WAZNE


 fel powiedzial(a):

Cytat:

Znasz ktos podobne dowcipy?



na pl.sci.fizyka ostatnio byly:

1)
"udowodnij twierdzenie Cauchy'ego"

----

2)
"rotacja divergencji gradientu pola"

granicą funkcji nieokreślonej.

Cytat:| W definicji Cauchy'ego nie ma mowy lewostronnych otoczeniach.
| (Podaj tytuł podręcznika, gdzie jest w def. C. coś o _lewostronnych_
| otoczeniach)
Dodam: Aby definicja Cauchy'ego była stosowalna funkcja musi posiadać
otoczenie punktu x0, w ktorym jest określona. Tzn. dla każdego x (i
tego z lewej i tego z prawej strony punktu x0) odległego od x0 o mniej
niż promień otoczenia musi istnieć f(x).
Tutaj nie ma takiego otoczenia (bo dla każdego x<0 f(x) nie istnieje)

| No cóż. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas "Matematyka dla studentów
| politechnik -definicje , twierdzenia , wzory" wyd. X str. 54:
| definicja Cauchy'ego granicy lewostronnej właściwej w punkcie (etc).
Ten podręcznik ma jeszcze podtytuł Analiza Matematyczna.



Nie będę się spierał z Twoim podręcznikiem, chociaż jestem
przekonany, że w większości podręczników jest trochę inaczej.
Zwykle granicę funkcji (rzeczywistej) definiuje się w punkcie x0
będącym punktem skupienia dziedziny D funkcji (tzn. w każdym
otoczeniu x0 musi istnieć punkt z dziedziny różny od x0,
nie ważne czy z lewej, czy z prawej strony) następująco:

lim_{x--x0)=g   <==

dla każego e0 istnieje d0, że dla każdego x in D:
0 < |x - x0| < d   ==  |f(x)-g| < e.

lub równoważnie:

dla każdego (x_n) takiego, że x_n in D, x_n =/= x0, lim{x_n}=x0
jest lim{f(x_n)} = g.

Czyli nie wymaga się by funkcja była określona z lewej strony x0
i wg tej def. funkcja x*lnx ma granicę w 0.
Inaczej w przypadku definicji granicy lewostronnej (prawostronnej),
tu się zgadzam (f nie ma lewostronnej, ma prawostronną).
Różnie bywa z definicjami w różnych podręcznikach, definicje są umowne.

Pozdrawiam
Tomek

Brak pomyslu

Cytat:| a twierdzenie to nosi nazwę:
| "nierówności Coshiego"
ROTFL:
Chyba Cauchy'ego:)



no qrna tez mi sie tak wydawalo ;-)
ale madry braciszek wyczytal tak...

nie wdając się w szczegoly...

Dowody na zagadnienia z funkcji zespolonych

Cytat:
Bylbym niezmiernie wdzieczny za nastepujace dowody na:
1.Twierdzenie o rownowaznosci granic dla ciagu zespolonego
[ ... ]
5.Wzor calkowy Cauchy'ego



        Ahahahaha.

Cos ciekawego ... Znowu :)

Cytat:Nie chodzi o Dirichleta tylko o kogos kto wymyslil cos co pozniej
przypisujemy Dirichletowi

to zagmatwałem!

ok.
niech D to Dirichlet
Ludz - to zbiór wszystkich ludzi (żyjących i umarłych)
Dorob(X) - faktyczny dorobek osoby X należacej do Ludz
DorobPrz(X) - dorobek przypisywany osobie X należacej do Ludz

ile wolno mi sie w ten sposob do niego zwracac)

(*) ist. L e Ludz (różny od Dirichleta) i  ist. a e DorobPrz(Dirichlet)
takie ze a e
Dorob(L) i ~(a e DorobPrz(L)).

wymyslil a to a jest mu przypisywane (czyli: a e Dorob(L) =a e
DorobPrz(L) ) wbrew (*), ktora moim zdaniem wynika z dwóch drugich wersow.

Chyba troszeczke przesadzilem, jesli z tego nie widac tego co chce
przekazac
to proponuje nie kontynuować watku, bo on do niczego konstruktywnego nie
prowadzi. Ja sie wtedy, w kazdym razie, poddam.

Pozdrawiam (kolejny raz :) czy to nie wyglada glupio, gdy kazdy mail
konczy
sie pozdrowieniami, ciekawe co o tym netykieta?)



OK, nie ma to jak formalizm, zrozumiałem :-)
Chodzi o to, że w pierwszych dwóch wierszach wypowiedzi Łukasza zawarta jest
alternatywa wykluczająca "albo". Dlatego do elementu a, mimo iż został on
wymyślony przez L, przypisany zostaje Dirichlet, gdyż on to opublikował.
No chyba, że on tego nie opublikował, wtedy masz rację :-)
Odnosząc się do tych dwóch linijek, można natychmiast podać kontrprzykład.
Zdarza się przecież, że niektóre twierdzenia mają nazwy nadane na cześć
jakiegoś słynnego matematyka (podobno tak jest z niektórymi twierdzeniami
"Cauchy'ego").
Co do twojego pytania o pozdrowienia, nie widzę w nich nic zdrożnego. No bo
czemu? To coś złego, pozdrowić grupowiczów?

Pozdrawiam :-)
Krzysan

Cos ciekawego ... Znowu :)

Cytat:OK, nie ma to jak formalizm, zrozumiałem :-)
Chodzi o to, że w pierwszych dwóch wierszach wypowiedzi Łukasza zawarta
jest
alternatywa wykluczająca "albo". Dlatego do elementu a, mimo iż został on
wymyślony przez L, przypisany zostaje Dirichlet, gdyż on to opublikował.
No chyba, że on tego nie opublikował, wtedy masz rację :-)



Ale mi nie przeszkadza to że Dirichlet opublikowal a (to nie ma wiekszego
znaczenia)
L cos wymyslil (powinien byc z tym utozsamiany) ale D opublikowal i to on
jest utozsamiany a L też byc powinien a na ogol nie jest!

Cytat:Odnosząc się do tych dwóch linijek, można natychmiast podać kontrprzykład.
Zdarza się przecież, że niektóre twierdzenia mają nazwy nadane na cześć
jakiegoś słynnego matematyka (podobno tak jest z niektórymi twierdzeniami
"Cauchy'ego").



Tak jest głownie (jak sadze) z def. i wlasnosciami gdy rozszerza sie
pojecia, np. kiedys były tylko przestrzenie euklidesowe, pozniej metryczne
... ale zarys wlasnosci jest mniejwiecej podobny wiec sie nazywa te
wlasnosci dla rozszerzonych przestrzeni starym nazwiskiem (tak sadze).

Cytat:Co do twojego pytania o pozdrowienia, nie widzę w nich nic zdrożnego. No
bo
czemu? To coś złego, pozdrowić grupowiczów?



W żadnym wypadku, ale robic to dziesiec razy dziennie to pachnie rutyna,
chodzi mi o to, ze jak kogos widzisz w danym dniu to mowisz mu czesc tylko
raz, a nie za kazdym razem gdy chcesz do niego cos powiedziec ;))

POZDRAWIAM WSZYSTKICH GRUPOWICZOW

"Maxima debetur puero reverencia"

Całka

Baretek Knapik:

Cytat:Twoje, Wlodku, podejscie do tego w jaki sposob poznawac wiedze dot.
calek jest bardzo praktyczne. Powiedzialbym, ze zdefiniowanie logarytmu
naturalnego jako calki oznaczonej z f(x)=1/x jest bardziej praktyczne
niz liczenie pola pod wykresem (z punktu widzenia czysto matematycznego,
koledzy fizycy :-) ).



Nie widze specjalnej roznicy pomiedzy calka oznaczona
z funkcji dodatniej i polem pod wykresem. To to samo,
tyle, ze pojecie calki jest latwiejsze, bo mniej sie
od niego wymaga.

Cytat:Ale tu pojawia sie problem. Zarowno w szkolach jak i podrecznikach z
ktorymi mialem do czynienia (zapewne nie bylo ich tak duzo jak u
niektorych wspoluczestnikow dyskusji na grupie) NAJPIERW pojawia sie
pochodna i ogolnie rozniczkowanie a pozniej calkowanie (przy czym
najpierw mamy calke nieoznaczona). Jesli zaczynamy od calki
nieoznaczonej, to rzeczywiscie pochodna ulatwia sprawe.



W szeregu podrecznikow, zreszta slabych, w Stanach,
widzialem calke oznaczona przed ciagami, szeregami
i pochodna. Chodzi mi o cos innego. Podkreslam, ze
na poczatku nie wprowadzam calki okreslonej dla
dowolnych funkcji lecz tylko, specyficznie dla
funkcji  f(x)=1/x.  Jest to latwiejszy przypadek,
bo funkcja ta dla x0 jest malejaca. Mozna uzyskac
calkiem glebokie wyniki, zaawansowac teorie funkcji.
Dopiero w nastepnym kroku mozna wprowadzic calke
ogolnie, gdy student juz ma motywacje, jest gotowy.
podobnie z definicja granicy.  Na pocztek mozna
wprowadzic kilka granic i albo przyjac ich istnienie
za kazdym razem jako aksjomat (jedynosc przy tym
bylaby twierdzeniem), albo korzystac mozna z aksjomatu
Dedekinda. Dopiero po takim przygotowaniu mozna
wprowadzic smialo ciagi Cauchy'ego i granice ciagu,
i dowiesc, ze istnieje granica iff ciag jest ciagiem
Cauche'go. Mozna tez wczesniej wprowadzic granice
ciagu w stylu podzialow Dedekinda.

Ponadto przed granicami i ciagloscia badalbym
znacznie prostsze pojecie lipschytzowskosci:

   d(f(x) f(y))  <  C*d(x y)

itd, itd itd itd  o la la la...

Pozdrawiam,

    Wlodek

rownania funkcyjne


Cytat:f(m+n) = f(m)+f(n) dla m,n in R
Oczywisice f jest funkcja liniowa postaci f(x) = mx m in R



To nie musi byc prawda.  Mozna zdefiniowac  f na liczbach
wymiernych jako 0, oraz przyjac  f( s + t*sqrt(2)) := t
dla dowolnych wymiernych  s t.  Nastepnie, z pomoca
pewnika wyboru mozna tak zdefiniowana czesciowa funkcje
liniowa nad Q rozszerzyc do funkcji liniowej nad Q na
cale R.  Tak otrzymana funkcja  f  nie jest postaci
 f(x) = C*x, co latwo uzasadnisz.

W literaturze najpierw mowi sie o bazie Hamela,
i dopiero wtedy wprowadza sie funkcje  f  jak powyzsza,
jako zastosowanie.  Jest to nieco przyciezka metoda
powiedzenia w zasadzie tego samego. Tak sie w literaturze
postepuje, bo wazniejsza jest baza Hamela (jest w przypadku
dowolnej przestrzeni liniowej waznym zastosowanmiem
pewnika wyboru), a funkcje  f  traktuje sie jako przy
okazji uzyskany wniosek.

Cytat:wydaje mi sie ze jest to rownanie Cauchy`ego, tylko kwestia taka
czy moge kraktowac to jako twierdzenie i bez dowodu powiedziec
ze f(x)  = mx, czy jeszcze nalezy to jakos dalej ciagnac?



Jak widzisz, nie.  Ale gdy mowisz "ciagnac", to odruchowo
mowie "cieplo", bo funkcja ciagla  f,  spelniajaca dane
rownanie, faktycznie musi byc postaci  C*x.

Specjalisci zalozenie ciaglosci  f  znacznie
oslabili. Wystarczy, ze  f  jest ciagla w jednym punkcie,
a juz jest postaci  C*x.  Sa tez warunki w terminach
mierzalnosci. Monografie o rownaniach funkcyjnych podaja
takie wyniki.

Cytat:Mam gdzies tam dowod na to, [...]



Wiesz, moze lepiej tak sie "nie wyrazac"
w naszym dystyngowanym salonie matematycznym.
Mozesz przeciez powiedziec, ze Ci nie zalezy,
ze to malo wazne--nie musisz tak od razu,
ze masz dowod "gdzies tam" (zwlaszcza to "tam" razi).

Pozdrawiam,

    cenzuralny Wlodek

"zwykla" czy stosowana

czw, 06 cze 2002 o 12:25 GMT, Grzegorz Krzykowski:

Cytat:o swobodzie wyboru dużej częsci zajęć. Np. istnieją
przypadki,
że student skończył matematykę i nie miał kursu z rachunku
prawdopodobieństwa.



        gratuluje poczucia humoru. podejrzewam, ze jest to uchybienie
mniej wiecej takiego rzedu, jak wypuszczenie z wydzialu filologii
polskiej studenta, nie wiedzacego kim byl Adam Mickiewicz.

Cytat:niezwykle ważane dla wykładowców i studentów. W tym
nienormalnym systemie oswiaty jest to niewielka możliwosć
wyboru
zajęć zgodnych z zaintersowaniami. Tak też postąpiła
Pani Monika, jedna z lepszych studentek, wybrała to co jej
odpowiadało i pewnie to sobie bardzio ceni jako element
studiwania.



        co oznacza stwierdzenie "niewielka mozliwosc wyboru zajec
zgodnych z zainteresowaniami"? czy ma to oznaczac, ze studia to tylko i
wylacznie rozwijanie swoich zainteresowan? zwazajac na to, ze absolwetn
liceum, zdajacy na wydzial matematyki w dowolnym miescie nie wie
jeszcze, co tak naprawde w matematyce go interesuje. to raz. dwa: co to
za matematyk, ktory nie wie, czy jest topologia, rachunek
prawdopodobienstwa, pierscien i cialo, szereg Fouriera, miara, uklad
rownan Cauchy'ego - Riemanna, rownanie eliptyczne oraz twierdzenie
Banacha - Steinhausa? ja odpowiedzi na to pytanie nie znam. byc moze dlatego,
ze samo w sobie jest ono sprzeczne, gdyz osoba nie znajaca choc jednego z
wymienionych przeze mnie pojec (nie znajaca = nie wiedzaca co to za
twierdzenie oraz podstawowej teorii za nim stojacej) matematykiem nie jest.
howgh.

        jesli zas chodzi o pania Monike: nie neguje Jej umiejetnosci
oraz absolutnie nie chce spekulowac na temat Jej ocen (choc to
wyznacznik wiedzy zaden). jednak moim zdaniem stosuje sie do niej to, co

Cytat:Z poważaniem,
Grzegorz Krzykowski



--
Lukasz Grabun (reply-to field is scrambled, remove NOSPAM)

"zwykla" czy stosowana

Cytat:

czw, 06 cze 2002 o 12:25 GMT, Grzegorz Krzykowski:
| o swobodzie wyboru dużej częsci zajęć. Np. istnieją
| przypadki,
| że student skończył matematykę i nie miał kursu z rachunku
| prawdopodobieństwa.

        gratuluje poczucia humoru. podejrzewam, ze jest to uchybienie
mniej wiecej takiego rzedu, jak wypuszczenie z wydzialu filologii
polskiej studenta, nie wiedzacego kim byl Adam Mickiewicz.



To nie jest żart, tylko prawda. Trzeba rownież dodać, że
w tak drastcznych przypadkach podejmowana decyzja jest
konsultowana w szerszym gronie. W tym przypadku była. Ów
student skończył matematykę z wyróżnieniem, został
zatrudniony
w Instytucie Matematyki, obronił doktorat i jest w trakcie
przygotowania habilitacji. Trzeba powiedzieć, że nic
w zakresie wyboru zajęc nie dzieje się z automatu. To jest
poważana
Cytat:| niezwykle ważane dla wykładowców i studentów. W tym
| nienormalnym systemie oswiaty jest to niewielka możliwosć
| wyboru
| zajęć zgodnych z zaintersowaniami. Tak też postąpiła
| Pani Monika, jedna z lepszych studentek, wybrała to co jej
| odpowiadało i pewnie to sobie bardzio ceni jako element
| studiwania.

        co oznacza stwierdzenie "niewielka mozliwosc wyboru zajec
zgodnych z zainteresowaniami"? czy ma to oznaczac, ze studia to tylko i
wylacznie rozwijanie swoich zainteresowan? zwazajac na to, ze absolwetn
liceum, zdajacy na wydzial matematyki w dowolnym miescie nie wie
jeszcze, co tak naprawde w matematyce go interesuje. to raz. dwa: co to
za matematyk, ktory nie wie, czy jest topologia, rachunek
prawdopodobienstwa, pierscien i cialo, szereg Fouriera, miara, uklad
rownan Cauchy'ego - Riemanna, rownanie eliptyczne oraz twierdzenie
Banacha - Steinhausa? ja odpowiedzi na to pytanie nie znam. byc moze dlatego,
ze samo w sobie jest ono sprzeczne, gdyz osoba nie znajaca choc jednego z
wymienionych przeze mnie pojec (nie znajaca = nie wiedzaca co to za
twierdzenie oraz podstawowej teorii za nim stojacej) matematykiem nie jest.
howgh.

        jesli zas chodzi o pania Monike: nie neguje Jej umiejetnosci
oraz absolutnie nie chce spekulowac na temat Jej ocen (choc to
wyznacznik wiedzy zaden). jednak moim zdaniem stosuje sie do niej to, co

| Z poważaniem,
| Grzegorz Krzykowski

--
Lukasz Grabun (reply-to field is scrambled, remove NOSPAM)



Funkcja Q i twierdzenie Q(n^a)=a*Q(n) Ł. Kalbarczyka

Łukasz Kalbarczyk:
Cytat:
| Niech  f(n)  bedzie liczba  k in {1 ... n},
| ktore sa wzglednie pierwsze z liczba naturalna  n.
| Na przyklad  fi(n)=2 <==n jest liczba pierwsza.
| Łukasz Kalbarczyk wprowdzil nastepujaca
| funkcje teorioliczbowa:
| DEFINICJA (Ł. Kalbarczyk)  Q(n) = min(t : fi^t(n)=1}.

Ja nie wiem czy to tak wszystko do końca jest, że "ja"...
Bo zadanie na kolokwium to wymyśliłem nie ja :
No i nie wiem, czy to twierdzenie jest całkiem nowe,



Jestem entuzjasta i w srodku nocy czy nad ranem
nieco sie pospieszylem z wyslaniem postu.
Rzeczywiscie najpierw nalezaloby przejrzec literature,
popytac teorioliczbowcow.  Jestem izolowany i nie
moglem tego uczynic od reki. Nalezalo poczekac.
Zreszta merytorycznie tez bylem nie bardzo
przytomny. Nawet w drobiazgach, jak opis tych  n
dla ktorych  Q(n)=2.  Jest tak dla  n=3 4 6,  i dla

bzdure. Itd.

Ponadto, gdy chodzi o twierdzenie, by nie nazywalo
sie hipoteza, to jednak podaj publicznie pelny dowod.

Cytat:ale były przecież Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza -
i piętnastu innych, więc niech będzie, że nowe :)



No tak, to zarcik. mamy inne czasy, latwiej o informacje,
nalezy sprawdzac. (W przeszlosci pewnych wynikow nie
publikowalem, bo nie chcialo mi sie sprawdzac literatury,
zakladalem, ze musza byc znane; jeden z tych wynikow
siedem czy dziesiec lat pozniej ktos opublikowal
i cieszyl sie calkiem calkiem uznaniem).

Cytat:Gdyby jednak było powszechnie znane, zad. na kolokwium
pewnie by nie było (wystarczyłoby do wzoru podstawić).



No tak, ale nie wazne czy "powszechnie",
wazne czy oryginalne.

No, ale posprawdzaj, a nuz jednak cos masz?!

Cytat:Nie mniej ja dziękuję tez za rozwinięcie tematu -



Oj, lepiej nie wspominaj. bede musial jeszcze
przemyslec go sobie.

Pozdrawiam,

    Wlodek

rotacja dywergencji gradientu pola

Głos mnie dochodzi. To Piotr Beliczynski w swej mądrości przemawia:

Cytat:Znam inny dowcip, strasznie mnie smieszyl w szkole sredniej: udowodnij
twierdzenie Cauchy'ego ;)))



Które? ;-)

M.

[Analiza] Tw. o f. w górnej granicy całkowania

Jest sobie takie twierdzenie, którego dowodu chyba nie rozumiem:
Twierdzenie (o funkcji z argumentem w górnej granicy całkowania)
Niech będzie funkcją ciągłą na [a,b]. Wtedy jest różniczkowalna i .

Dowód:
Trzeba udowodnić, że dla każdego zachodzi . Na razie z + dla h>0.

Z definicji Cauchy'ego funkcji ciągłej:



mamy

.

Na razie to zostawiam i korzystam z własności całek w następującym przekształceniu ilorazu różnicowego:



Wiem, też, że



czyli



Zatem czy można zapisać na podstawie (1) i (2):



? Podany był jeszcze warunek . Rozumiem, że jest on potrzebny po to, żeby były faktycznie najmniejszymi/największymi wartościami na [a,b]?

Dalej już dość prosto:



I przy h→0 gdzie δ>h ε→0 zatem



co kończy dowód.

Czy te moje wstawki trzymają w jakoś w kupie ten cały dowód? Z tw. Leibniza-Newtona jest już łatwo, więc nie będę pytał

Co studiujecie/studiowaliście.

Cytat:"dystrakcja egzystencjonalizmu implikowana dromologiczną tendencją deterministyczną w bilateralnych kosmologicznych bytach humanizmicznej precesji symulakronicznej".

Oprócz znajomości słownika języków obcych i encyklopedii dobrze jest, jak ma się z kim porozmawiać. A jeszcze lepiej, jak chcą z nami rozmawiać.

Wiecie co robiła moja grupa studencka z wykładowcami, którzy zamiast dodajemy mówili wykonujemy działanie arytmetyczne, którego wynikiem jest ciąg c_n liczb wymiernych zbieżnych do C, a składnikami ciągi Cauchy'ego liczb wymiernych a_n i b_n zbieżne odpowiednio do A i B ?

Po prostu olewała.

Nie cierpię bełkotu. Jeśli coś można nazwać wg ogólnie przyjętej prostej definicji, to nie trzeba za każdym razem, przy każdym zdaniu udowadniać twierdzenia będącego składową danej hipotezy. Tak skomplikowane hipotezy jak dystrakcja egzystencjonalizmu implikowana dromologiczną tendencją deterministyczną pokazują aksjomat kompleksowego opisywania własnych kompleksów stosowany przez teoretyków. Nikt normalny, kto ma styczność z praktycznym zastosowaniem opisywanych zjawisk nie ujmie ich w powyższy sposób. Królem jest Feynman - ignorant jakich mało!

No, tym bełkotliwym wywodem udowodniłem, że sama komunikacja międzyludzka jako taka nie może być implikacją poprawnej interpretacji sygnałów, gdyż sam tylko biały szum występujący podczas transmisji może wpływać tłumiąco na owe sygnały i jednocześnie kodowanie sygnału może mieć postać niedekodowalną przy użyciu algorytmów stosowanych przez odbiorcę.

Oczywiście o ile jakakolwiek postać może być określona mianem niedekodowalnej, ale to pozostawiam językoznawcom. Już niedługo rada języka polskiego dopuści sformułowanie poszłem, więc o komunikację nie mam się co martwić.

[ Dodano: 2008-09-18, 20:15 ]

teoria z analizy

definicja twierdzenia? To może do tego treści i interpretacje geometryczne twierdzeń Lagrange'a i Rolle'a (chyba jest jeszcze Cauchy'ego, ale nie będę pytał o coś czego nie znam )

[2005Z] Egzamin (tutaj jest karta wzorów)

Cytat:Dziekuje za przesłanie karty wzorów. Widzę że Państwo się
napracowaliście i szkoda by było to zmarnować. Potraktujmy to dzieło jako pierwszy krok do zapisania mojego skryptu na główce od szpilki.

Moje uwagi są następujące:

Ogólna: akceptuję wzory, ale nie twierdzenia ani definicje (z kilkoma wyjątkami)

Szczegóły:
1.0.1, 1.0.2 - OK
1.1 NIE (można tylko zostawić kryt. a'Alemberta i Cauchy'ego, ale bez UWAG)
1.2.1 NIE
1.2.2. OK
1.3, 1.4, 1.5, 1.6 NIE
1.7 OK
1.8.1 NIE
1.8.2, 1.8.3 OK
1.8.4, 1.8.5, 1.8.6 NIE
1.9 OK
1.10 NIE
1.11.1, 1.11.2 NIE
1.11.3, 1.11.4 OK
1.11.5 NIE
1.11.6 OK
1.12 OK
Na końcu jest część bez numeracji dotycząca szeregów potęgowych i zbieżności jednostajnej, z której proszę zostawić tylko:
wzór na promień zbieżności
twierdzenia o różniczkowaniu i o całkowaniu szeregów potęgowych
i te dwie ostatnie własności które są po nich.

Mam nadzieję że te poprawki nie wywołają zbyt długotrwałego szoku, lecz raczej skłonią Państwa do nauczenia się niektórych rzeczy.

Prawdę mówiąc w tych notatkach nie zauważyłem jednego wzoru który może być przydatny na egzaminie. Ciekawe czy Państwo zgadniecie jakiego?

Pozdrawiam, JW



Tak to wygląda - trzeba niestety trochę powycinać...
Aha, zgadujcie, który wzór nam się przyda na egzaminie, bo warto go zamieścić. :]

[EDIT]
Wydrukowałem tę ściagę i wykreśliłem, czego tam nie może być. Niestety, zostało niewiele - w zasadzie tylko wzory. Może zastanówmy się, co z tego typu rzeczy może nam się przydać, bo treści twierdzeń, a tym bardziej definicje w ogóle nie przejdą.

Co zostało na ściądze:
Wzór de Moivre'a
Wzory trygonometryczne
Kyterium d'Alemberta i Cauchy'ego
Tożsamość Abela, itp.
Pochodne elementarne
Tw. Rolle'a i Lagrange'a
Wzór Taylora wraz z rospisanymi podstawowymi funkcjami
Podstawowe metody całkowania i całki elementarne
Podstawienie trygonometryczne w całkach
Wzór Wallisa
Wzory na pola, objętości (całki)
Twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych oraz dwa ostatnie wzory z tych szeregów

Maturzyści

A jakie zadania byscie sobie zyczyli?

Ja bym sobie zyczyl "oblicz pochodna z definicji", dowód na podstawie twierdzenia Cauchy'ego (ten z granica funkcji w punkcie) i jakies optymalizujace

Dowcipy

Matematycy śmieją się z siebie:
osiem godzin snu, osiem godzin matematyki, osiem godzin - jazz, wino i kobiety.

My - matematycy, nie jesteśmy normalnymi członkami społeczeństwa. My próbujemy zrozumieć to, czego normalni ludzie nie umieją zrozumieć.

Metody dowodzenia twierdzeń:
dowód przez ogląd (łatwo widać)
dowód przez połechtanie ambicji słuchaczy (to dla Państwa jest proste),
dowód iluzjonistyczny (zrobimy teraz taką małą sztuczkę),
dowód spychologiczny (Państwo sprawdzą sami),
dowód przez kalendarz (to było w zeszłym roku),
dowód przez zastraszenie (albo Państwo uwierzą na słowo, albo będę przez trzy godziny dowodził),
dowód przez sztućce (a nuż wyjdzie),
dowód teologiczny (diabli wiedzą jak to udowodnić),
dowód przez założenie tezy.

Hymn matematyków

Oj, myślę sobie czasem, aże sam się śmieję
Oj, czemu to zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje.
Oj, byłby to hałas spory, gdyby zebrać wszystkie zbiory.
Oj, dana, dana...

Oj, myślę sobie czasem, co za pech fatalny
Że przedział (0,1) jest nieprzeliczalny.
Oj, jakby to dobrze było, gdyby się go przeliczyło.

Oj, jakie to wspaniałe zbiorów są zwyczaje,
Że się uporządkować każdy dobrze daje.
Zaraz się chłop lepiej czuje, jak se zbiór uporządkuje.

Oj, próżno się człek prosty dorozumieć stara
Oj, co to jest za miara zwana miarą Haara.
Są to takie miary głupie na lokalnie zwartej grupie

Oj, czasem sobie w nocy próbuję pomału
Oj, w niezerowym ciele szukać ideału.
Lecz mam taki pech fatalny, że co znajdę, to trywialny.

Oj, każdy Brouwerowi winien bić pokłony
Że wreszcie zlikwidował środek wyłączony.
Stworzył nowe możliwości współczesnym i potomności.
Oj, dana, dana...

Oj, w którąkolwiek pójdę dzisiaj świata stronę
Wszędzie mnie straszą dziwne funkcje zespolone.
Jeden fakt mnie zwłaszcza złości: sinus większy od jedności.

Oj, czy ktoś zna odpowiedź, ja się ciągle waham,
Jak szybko można biegać w przestrzeni Banacha?
Oj, zapytam się Cauchy'ego, bo w niej zbieżne ciągi jego.

Oj, była dzisiaj w barze draka nadzwyczajna:
Barmankę klient prosił o butelkę Kleina.
Ona się tym nie zraziła: czas do ceny doliczyła!

Zawód z przyszłością.

Nie twierdze Wacku, że na niczym się nie znasz, ale niestety nie pokazałeś niczego co mogłoby potwierdzić, że znasz się na gospodarce wolnorynkowej czy ruchach politycznych, a wypowiadając się w kwestiach politycznych czy gospdodarczych jednak pretendujesz do kogoś kto ma przynajmniej połowiczne pojęcie o tym.
Nie oceniam stylu Twojego pisania pod względem estetycznym, a jedynie pod względem merytorycznym. W momencie polemik kiedy brakuje Ci argumentów niestety wysługujesz się bełkotem. Odnośnie "epigonizacji" odbiłem tylko piłeczkę, bo należeć do elektoratu danego stronnictwa politycznego nie znaczy uważać je za święte(szczerze mówiąc nie lubię PO za linie światopoglądową, ale z "braku laku i kit dobry", a także nigdy nie popierałem tworzenia się "elit polityczno-biznesowych" III RP). Nie znam krzywej Cauchy'ego, ale po sprawdzeniu w Wikipedii przypominam sobie dlaczego nie wypowiadam się na temat matematyki w ogóle tutaj. Popełniam błedy, a jakże - Regan tudzież Reagan zdarza mi się.

Nie jestem dorosłym(a co to znaczy być dorosłym? mieć dziecko? pracować na swoim i mieszkać bez rodziców?) fachowcem, ale posiadam jakąś wiedzę, która czyni mnie bardziej kompetentnym od dużej części społeczeństwa, która zajmuje się politykerstwem czytając jedną, no może dwie książki na 3-4 lata...Stres mi jest jak najbardziej obcy - bardzo trudno mnie zestresować, a odpowiedź poprzednia była tylko powodowana silnym poczuciem własnego "ja". Wolnomularstwo było mi zawsze dalekie przynajmniej ze względu nieakceptowania deizmu, bliżej mi do New Age u panteizmu.

Odnośnie Derka to jeśli mnie pamięc nie myli studiuje on na kierunku powiązanym z ekonomią bardziej niż mój i zapewne zresztą w liceum miał też "Przedsiębiorczość", a lekcje tego z pozoru małoznaczącego przedmiotu mogą też zaszczepić podstawy mikro i makroekonomii.

Jakkolwiek kwestia upodobań stylu jest sprawą jednostki, która odbiera dany tekst - a więc jak to mówią "Jeden lubi szynkę, a drugi kaszankę". Nie mam bynajmniej zamiaru zmieniać stylu pisania

szeregi funkcyjne

witam! mam problem. pisze prace licencjacka i potrzebuje po dwa przykłady zadań z rozwiązaniami, które rozwiązuje się z twierdzenia cauchy'ego i twierdzenia diniego o zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych. byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi pomógł. pozdrawiam

zadanie

Cytat:Funkcja F:R-R spełnia warunki
a) f(x+y) = f(x) + f(y)
b) F(1)=1

Oblicz f(1/4) ????????




grupy) listy w tym wątku. Problem, który  poruszasz,  jest  klasyczny.
Równanie  a)  nazywamy  równaniem  funkcyjnym  Cauchy'ego. Bez żadnych
dodatkowych założeń  o  funkcji  f  z  równania  Cauchy'ego wynika, że
f(q)=f(1)*q dla każdej  liczby  wymiernej  q.  Więcej  nie  piszę,  bo
równanie  Cauchy'ego  to temat-rzeka. Kto nie wierzy, to niech zobaczy
do książki nieżyjącego już Profesora  Marka Kuczmy "An Introduction to
the Theory of  Functional  Equations  and  Inequalities",  Uniwersytet
Śląski  i PWN, W-Wa, Kraków, Katowice, 1985. To "wprowadzenie" zajmuje
523 strony. O równaniu  Cauchy'ego  pisałem  na  grupie chyba dwa razy
(nie licząc tego) w ciągu mojego tu  pobytu  (od  października  1999).
Proponuję więc umieszczenie tematu w FAQ.

Dlaczego?  Był  poruszany więcej niż raz. Poza tym jest wdzięcznym dla
popularyzacji matematyki. Równanie  Cauchy'ego rozważane w podstawowym
aspekcie - znalezienia wszystkich jego rozwiązań ciągłych - nie wymaga
bowiem żadnej wiedzy oprócz znajomości pojęcia ciągłości funkcji  oraz
tego,  że  zbiór liczb wymiernych jest gęsty, a co za tym idzie, każda
liczba rzeczywista jest  granicą  pewnego  ciągu  liczb wymiernych. To
naprawdę mało.

Jak widziałbym opracowanie tematu w FAQ? Na  pewno  pełne  rozumowanie
związane z wyznaczeniem rozwiązań ciągłych. A potem chyba nie ma co za
bardzo wchodzić w szczegóły, bo pisząc jedno, zaraz myślimy o drugim i
temat  niedługo  przekroczy  wszelkie  rozsądne granice objętości. Tak
więc proponowałbym tylko kilka informacji  np. o tym, o czym wspomniał
już Andrzej: minimalne założenia  regularnościowe  o  funkcji  f  typu
ciągłość  w  jednym punkcie lub półciągłość z dołu lub z góry w jednym
punkcie lub mierzalność  lub  lokalna  ograniczoność  z  góry w jednym
punkcie itd... implikują już ciągłość funkcji addytywnej f. Można  też
dorzucić  jakieś  zastosowania.  Np.  jest  takie twierdzenie Kranza o
oddzielaniu funkcją  addytywną  (szczegółów  dotyczących dziedziny nie
podaję, bo to osobny temat): Mamy dwie funkcje: n - nadaddytywną  (tj.
n(x+y)=n(x)+n(y)   dla   każdych   x,y)   i  p  -  podaddytywną  (tj.
p(x+y)<=p(x)+p(y) dla  każdych  x,y)  takie,  że  dla  każdego  x jest
n(x)<=p(x).   Wtedy   istnieje   funkcja   addytywna   a   taka,    że
n(x)<=a(x)<=p(x)  dla  każdego  x.  Albo można wspomnieć o twierdzeniu
pochodzącym od Hyersa i Ulama,  a dotyczącym tzw. stabilności (dzisiaj
nazywanej stabilnością w  sensie  Hyersa-Ulama)  funkcji  addytywnych:
jeśli  X,Y  są przestrzeniami Banacha oraz f:X--Y spełnia dla każdych
x,yin X nierówność  ||f(x+y)-f(x)-f(y)||<=d  (gdzie  d=0  jest pewną
ustaloną stałą), to istnieje dokładnie jedna funkcja addytywna a:X--Y
taka,  że  ||f(x)-a(x)||<=d  dla  każdego  xin  X. Nie trzeba mówić o
przestrzeniach  Banacha  -  w  celach  informacyjno-popularyzatorskich
wystarczy przypadek X=Y=R.

Oj... ale się rozpisałem -  a  chciałem  krótko. Widać, jaki to temat.
Mój wybór zagadnień jest oczywiście subiektywny. Może ktoś poda  inne,
bardziej posujące do FAQ.

Rozkład bez EX

Cytat:| Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
| Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
| rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
| w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

| "rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
| jest kompletnym nieporozumieniem!

Jeżeli cytujesz, to zadbaj o to, żeby w cudzysłowach znalazło się to,
co mówiłem. Wtedy możemy dyskutować.



Dokładnie u Ciebie było: "W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość
oczekiwaną równą 0".
to był tylko skrót, nie manipulacja, ale przepraszam.

Cytat:| Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
| prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

To zależy od doświadczenia. Dokładnie problem opisał Paweł Góra, więc
nie będę pisał jeszcze raz tego samego.



Taaak, to rzeczywiście zależy od doświadczenia:-) Tak jak
przy rzucaniu kostką. Raz wypada czwórka, raz dwójka
a czasami jeszcze coś innego:-))
Niestety, widzę że trudno nam będzie się porozumieć. Pisząc wcześniej
nieformalnym
językiem myślałem, że podstawy rach. pr. nie są ci obce
i znasz pojęcia zmiennej losowej, rozkładu, zbieżności ciągów
zmiennych losowych itd. Niestety, pomyliłem się bardzo.
Polecam jakiś elementarny podręcznik do r. p. Po
kilku miesiącach będziesz mógł już przeczytać, zrozumieć,
i samodzielnie zrobić rachunki do tego to co poniżej.

*******************************************
Niech X_1, X_2, X_3, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie Cauchy'ego, tzn. z gęstością

f(x)=a/(x^2 + b^2)

(musi być  a=b/pi aby f(x) całkowało się do jedynki)

Wprowadźmy dobrze znaną średnią arytmetyczną:

A_n= (X_1+X_2+....X_n)/n

Michał Wasiak nazywa to wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym.
Jako funkcja mierzalna zmiennych losowych A_n
jest też oczywiście zmienną losową.
Jeżeli przez f_n(x) oznaczymy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej A_n, to elementarne rachunki pokażą, że

f_n(x)=a/(x^2 + b^2).

(dwie linijki roboty, najprościej wykorzystać funkcje charakterystyczne
i twierdzenie o funkcji  charakterystycznej sumy niezależnych zmiennych
losowych).

Otrzymaliśmy ciekawy wynik: ZMIENNA LOSOWA A_n
MA ROZKŁAD CAUCHY'EGO NIE ZALEŻĄCY OD n.
Zatem oczywiście nie zachodzi A_n=0 z prawdopodobieństwem 1
ani nawet przy n-oo A_n nie jest zbieżne do 0 w żadnym sensie
(wg prawdopodobieństwa, z prawdopodobieństwem 1, wg rozkładu).

*******************************************

Nie chce mi się dalej ciągnąć tego wątku.
Dziękuję za dyskusję i pozdrawiam wszystkich,

Korvin

Rozkład bez EX

Cytat:
| Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
| Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
| rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
| w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

| "rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
| jest kompletnym nieporozumieniem!

| Jeżeli cytujesz, to zadbaj o to, żeby w cudzysłowach znalazło się to,
| co mówiłem. Wtedy możemy dyskutować.

Dokładnie u Ciebie było: "W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość
oczekiwaną równą 0".
to był tylko skrót, nie manipulacja, ale przepraszam.

| Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
| prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

| To zależy od doświadczenia. Dokładnie problem opisał Paweł Góra, więc
| nie będę pisał jeszcze raz tego samego.

Taaak, to rzeczywiście zależy od doświadczenia:-) Tak jak
przy rzucaniu kostką. Raz wypada czwórka, raz dwójka
a czasami jeszcze coś innego:-))
Niestety, widzę że trudno nam będzie się porozumieć. Pisząc wcześniej
nieformalnym
językiem myślałem, że podstawy rach. pr. nie są ci obce
i znasz pojęcia zmiennej losowej, rozkładu, zbieżności ciągów
zmiennych losowych itd. Niestety, pomyliłem się bardzo.



Nie martw się, nie bardzo.

(złośliwości:)

Cytat:Michał Wasiak nazywa to wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym.



Nie, chłopie. Wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym nazywam
średnią z wyników pomiarów. Pisałem o tym wcześniej, trzeba było czytać,
a nie zgadywać.

Cytat:Jako funkcja mierzalna zmiennych losowych A_n
jest też oczywiście zmienną losową.
Jeżeli przez f_n(x) oznaczymy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej A_n, to elementarne rachunki pokażą, że

f_n(x)=a/(x^2 + b^2).

(dwie linijki roboty, najprościej wykorzystać funkcje charakterystyczne
i twierdzenie o funkcji  charakterystycznej sumy niezależnych zmiennych
losowych).

Otrzymaliśmy ciekawy wynik: ZMIENNA LOSOWA A_n
MA ROZKŁAD CAUCHY'EGO NIE ZALEŻĄCY OD n.
Zatem oczywiście nie zachodzi A_n=0 z prawdopodobieństwem 1
ani nawet przy n-oo A_n nie jest zbieżne do 0 w żadnym sensie
(wg prawdopodobieństwa, z prawdopodobieństwem 1, wg rozkładu).



Nigdy tego nie powiedziałem.

Posłuchaj teraz. Każdy ustrojstwo pomiarowe ma pewien zakres.
Zatem wyniki wykraczające poza ów zakres w najlepszym razie potraktuje
jako krańce zakresu.

Druga sprawa to to, że w rozkłady ciągłe nie dają się realizować
w rzeczywistości.

Słowem, jeżeli chcesz mówić o doświadczeniach, to musisz mocniej
przemyśleć problem.

zart

(...)

Rozmawiaja dwaj profesorowie matematyki:
- Dasz mi swoj nr telefonu ?
- No pewnie. Trzecia cyfra jest trzykrotnoscia pierwszej. Czwarta i szosta
sa takie same. Druga jest wieksza o jeden od piatej. Suma szesciu cyfr to
23, a iloczyn 2160.
- W porzadku, zapisalem - 256 343.
- Zgadza sie. Nie zapomnisz?
- Skadze. To kwadrat 16 i szescian 7.

***

Trzech mężczyzn obserwuje dom. W pewnym momencie do domu wchodzą dwie osoby.
Za pół godziny wychodzą trzy.
Biolog mówi: Rozmnożyli się.
Fizyk: Nie, to błąd pomiaru.
Matematyk: Jak do środka wejdzie jeszcze jedna to dom będzie pusty...

***

Matematyk, Fizyk i Inżynier otrzymali identyczny problem do rozwiązania:
Udowodnić, że wszystkie liczby nieparzyste większe niż dwa są pierwsze.
Rozwiązali:
Matematyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie  -
sprzeczność - twierdzenie jest fałszywe.
Fizyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie - błąd
przypadkowy eksperymentu, 11 jest pierwsza...
Inżynier: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 jest pierwsza,
11
jest pierwsza...

***

Matematyk i Inżynier byli na wykładzie u Fizyka. Temat był związany z teorią
Kulza-Kleina odnoszącą się do procesów fizycznych, które występują w
przestrzeniach 9-cio, 12-to i więcej wymiarowych. Matematyk siedzi  i
delektuje
się wykładem w sposob widoczny gołym okiem, podczas gdy Inżynier  marszczy
brwi
i wygląda na wielce zakłopotanego. Pod koniec wykładu Inżynier  ma już
potworny
ból głowy. Na zakończenie Matematyk komentuje wykład jako  niezwykle
ciekawy.
Inżynier zapytuje go:
 - W jaki sposób zrozumiałeś, o czym on mowił?".
Matematyk:
 - Po prostu wyobrażałem sobie to.
Inżynier:
 - Jak można sobie coś wyobrazić, co występuje w 9-cio wymiarowej
przestrzeni ?
Matematyk:
 - Po prostu najpierw wyobrażam to sobie w N-wymiarowej przestrzeni a potem
zakładam, że N=9.

***

Profesor matematyki nie mógł znaleźć pracy, wszędzie mówili, że nie stać ich
na tak wybitną osobistość. No to się wkurzył i zdesperowany poszedł do
urzędu pracy, powiedział, że skończył zawodówkę i szuka pracy jako
hydraulik. Udało się, dostał pracę. Za jakiś czas ktoś mądry wymyślił,
że żeby być hydraulikiem, to trzeba mieć maturę, no i wysłali
całą brygadę, w której pracował profesorek na wieczorowe kursy z matematyki.
Na pierwszych zajęciach nauczyciel wziął profesorka do tablicy i pyta jaki
jest wzór na pole koła. Profesorek na to, że nie wie, ale zaraz sobie
wyprowadzi. No i zaczyna, pół tablicy zabazgrał wzorami i coś mu nie
wychodzi. Nagle słyszy szept z pierwszej ławki:
"Zmień przedział całkowania".

***

Mówi izomorfizm do homomorfizmu;
- słuchaj, może pokomutujemy z macierzami?
- coś ty, z twoim trywialnym jądrem?

***

Przychodzi ciag Cauchy'ego w przestrzeni zwartej do lekarza...
- Co pan taki ograniczony?

***

Przychodzi operator hermitowski do lekarza:...
- Panie doktorze, mam trywialne jadro

:)

Brzegi

Tomaszek

Cytat:OK, chodzi o "ogromną liczbę". Przyjmij więc, że
posłużyłem się "Nieskończonościowym Modelem Zbioru Zdań
Literaturowych", i że ten model, jak każdy model, nie jest
doskonały. Jednakowoż spełnia kilka klasycznych
postulatów, jak "prostota" oraz "interpretowalność
parametrów i stałych w języku teorii". Zauważ otóż, że
potencjalna ilość kłamstw dąży do nieskończoności, a
liczba zdań klasycznie prawdziwych musi być liczbą
skończoną. Formie zdaniowej "x jest stolicą Austrii"
odpowiada bowiem _jedno_ zdanie prawdziwe (które,
oczywiście, mogło być i pewnie było wypowiedziane w paru
powieściach a nawet wierszach) i _nieskończenie wiele_
(tak!) zdań fałszywych (wliczając "Aneta jest stolicą
Austrii", "Packa na muchy jest stolicą Austrii" oraz
"Mister Quuph jest stolicą Austrii").



mówisz tak:
weźmy formę "x=y". ma ona dwa parametry - x i y.
zdefiniujmy fukcję tomaszek ze zbioru liczb rzeczywistych R
w zbiór form zdaniowych.
tomaszek(x,y)="x=y"
i teraz Ty mówisz tak:
weźmy y=2
tomaszek(x,2)="x=2"
moc zbioru x-ów z naszej dziedziny jest równa nieskończoność
(x-ów, które dają zdania prawdziwe plus fałszywe plus te pośrednie;),
w tym istnieje dokładnie jeden x taki, że tomaszek(x,2) jest prawdziwe -
natomiast nieskończenie wiele x-ów takich, że
zdanie tomaszek(x,2) jest fałszywe.
wniosek:
<liczba zdań klasycznie prawdziwych musi być liczbą
skończoną.
ale liczbą skończoną, czyli.... ile? jeden?
jeśli ograniczamy się tylko do formy tomaszek(x,2),
to ta liczba skończona jest równa jeden.
ale przecież przyjęliśmy <Nieskończonościowy Model Zbioru Zdań
Literaturowycha to znaczy, że rozpatrujemy
wszystkie zdania, które teoretycznie mogą się
pojawić w literaturze.
i teraz tę liczbę jeden musimy pomnożyć jeszcze przez...
przez liczbę równą mocy zbioru powiedzmy tych y-ków z dziedziny,
którym też odpowiada dokładnie jeden x generujący z y-kiem
zdanie prawdziwe.
czyli przez nieskończoność.
nieskończoność razy nieskończoność...

Cytat:A pomyśl teraz o
formach zdaniowych w rodzaju "x jest stolicą y"; czy muszę
kontynuować?!



... i już nie umiemy policzyć, ile jest zdań prawdziwych,
a ile fałszywych, która nieskończoność jest większa,
a która mniejsza. istnieje tylko jeden x pasujący do
Austrii, a nieskończenie wiele x-ów niepasujących,
ale istnieje też nieskończenie wiele "Austrii"
ze swoimi nowymi x-ami.

Cytat:Toteż prawdziwościowa struktura dzieła
literackiego jest właśnie taka: rodzynki prawdziwości w
morzu fałszu.



twierdzisz, że rozkład wartości logicznych zdań użytych
w tekście poetyckim ma rozkład powiedzmy
gaussa (powiedzmy), gdzie fukcja gęstości
idzie ze zbioru tych zdań rozmieszczonych
gdzieś na odcinku <0,1<FAŁSZ, PRAWDA,
a wartość oczekiwana równa jest
jakieś maleńkie bliskie zeru epsilon?
ale jest tyle różnych typów literackich - mówisz
o dziełach literackich. a czyż pamiętniki nie
są dziełem literackim? tutaj E(X)=1. każde
zdanie jest całkowicie prawdziwe. z drugiej
strony mamy jakichś futurystów czy innych dziwaków,
gdzie E(X)=0. więc czemu wskazówkę E(X) przechylasz
uparcie na stronę z napisem FAŁSZ?

Cytat:Gdy o tym myślałem, przyszła mi do głowy
definicja granicy ciągu Cauchy'ego (g jest granicą wtedy i
tylko wtedy, gdy do dowolnie małego otoczenia g należą
_prawie wszystkie_ wyrazy ciagu). Generując dzieło
literackie wyznaczam pewien obszar fałszu, do którego
wpadają prawie wszystkie kreowane zdania; na zewnątrz
pozostanie w każdym przypadku zaledwie skończona liczba
sądów prawdziwych



...sądów prawdziwych, a raczej prawie_prawdziwych,
bo punkt z etykietką PRAWDA
leży oddalony powiedzmy o jednostkę od punktu
FAŁSZ, wokół którego zakreślasz obszar.
ale to jest tylko Twój prywatny obszar,
bo kto inny może zakreslać obszar wokół jedynki,
i wtedy dostępnych zdań fałszywych będzie skończona liczba.

Cytat:[nie wchodzę w szalenie skomplikowane
niuanse definicji "sądu (lub zdania) prawdziwego", bo w
tym przypadku najzupełniej wystarcza definicja prawdy
oparta na intuicji).

Tomaszek



van

Humor :)))))

Dowcipy o matematykach

Małżeństwo matematyków rozmawia podczas romantycznej kolacji przy świecach. Mąż zwraca się do żony:
- Kochanie, czy myślisz o tym samym co ja?
- Mhm...
- I ile ci wyszło?

Kto jest najlepszym matematykiem na świecie?
- Kobieta: dodaje sobie urody, odejmuje lat, mnoży dzieci, dzieli łoże

Co powiedziało zero (0) ósemce (8)?
- Ładny pasek.

Przychodzi pijany student na egzamin z matematyki i pyta profesora, czy może zdawać mimo iż jest pijany. Egzaminator był litościwy, więc stwierdził, że nie ma sprawy. Na rozgrzewkę kazał studentowi narysować sinusoidę. Student wziął kredę, podszedł do tablicy i narysował piękną sinusoidę. Egzaminator powiedział:
- No widzi pan, jednak pan umie.
Na to student:
- Niech pan poczeka, to dopiero układ współrzędnych.

Twierdzenie.
Wszystkie liczby naturalne są interesujące.
Dowód.
Załóżmy, nie wprost, że istnieją liczby nieinteresujące. Utwórzmy zbiór z nich złożony - M - i wybierzmy w nim (istniejący na podstawie zasady minimum) element najmniejszy - ozn. m. Zatem m-1, m-2, m-3, ... są już interesujące. Oznacza to, że liczba m ma bardzo ciekawą własność - wszystkie liczby od niej mniejsze są interesujące, a ona nie (!) - co przeczy definicji zbioru M.

Kobiety (K) potrzebują czasu (T) i pieniędzy (P) więc
K=T*P
Zgodnie prawem "czas to pieniądz" mamy
T=P
i po podstawieniu
K=P^2
Pieniądze to pierwiastek zła (Z)
P=sqrt(Z)
i podstawiając mamy
K=Z.
Wnioski nasuwają się same

Po klasówce z matematyki rozmawia dwóch kolegów.
- Ile zadań rozwiązałeś?
- Ani jednego. A ty?
- Ja też ani jednego. I pani znowu powie, że ściągaliśmy od siebie.

Nauczyciel matematyki wyjaśnia dzieciom, że połowy są zawsze równe.
Po chwili dodaje:
- Co będę wam dużo tłumaczył i tak większa połowa nie zrozumie.

- Synku, kiedy poprawisz dwójkę z matematyki?
- Nie wiem, mamusiu, nauczyciel nie wypuszcza dziennika z rąk

Przychodzi logarytm do lekarza,
a lekarz mówi: co panu tak wolno rośnie?

Przychodzi sinusoida do lekarza,
a lekarz mówi: znowu ma pani okres?

Przychodzi stożek do lekarza,
a lekarz mówi: coś pan taki ścięty?

Przychodzi zbiór do lekarza,
a lekarz mówi: jest pan skończony!

Przychodzi rozkład do lekarza,
a lekarz mówi: czy pan jest normalny?

Przychodzi i do lekarza,
a lekarz mówi: coś się pani uroiło!

Przychodzi izomorfizm do lekarza,
a lekarz mówi: dlaczego ma pan takie trywialne jądro?

Przychodzi funkcja nieciągła do lekarza,
a lekarz mówi: co, nikt nie chce pani zróżniczkować?

Przychodzi iloraz do lekarza,
a lekarz pyta: a gdzie reszta?

Przychodzi hiperboloida jednopowłokowa do lekarza,
a lekarz mówi: co pani taka prostolinijna?

Przychodzi element do lekarza,
a lekarz woła: policja!

Przychodzi liczba do lekarza,
a lekarz mówi: jest pani pierwsza!

Przychodzi ciąg Cauchy'ego do lekarza,
a lekarz mówi: proszę się tam z tyłu nie tłoczyć!

Przychodzi wektor do lekarza,
a lekarz mówi: kto pana tu skierował?

Przychodzi zmienna do lekarza,
a lekarz mówi: pani tu nie stała!

Przychodzi jedynka do lekarza,
a lekarz mówi: pani nie jest pierwsza!

Przychodzi wielomian do lekarza,
a lekarz mówi: uwaga, stopień!

Przychodzi zbiór pusty do lekarza,
a lekarz mówi: następny proszę!

Algebra - pytania na egzamin do Sir A.JACKO

Egzamin z matematyki

1. Rodzaje liczb rzeczywistych, wartość bezwzględna i jej własności.
2. Zbiory skończone i nieskończone, zbiory przeliczalne i mocy kontinuum. Przykłady.
3. Zasada ciągłości, zbiory ograniczone, zasada przedziału stępujących Cantora.
4. Liczby zespolone, postać kanoniczna Gausa, interpretacja geometryczna.
5. Liczby zespolone, postać trygonometryczna, pierwiastki stopnia n liczby zespolonej. Przykłady.
6. Ciągi liczbowe, definicja, przykłady, granica ciągów.
7. Twierdzenie o ciągach mających granicę.
8. Twierdzenie o trzech ciągach – udowodnić.
9. Ciągi zbieżne dla zera, lenat I i II.
10. Granice nieskończone, przykłady.
11. Ciągi monotoniczne, twierdzenie o ciągach monotonicznych, przykłady.
12. Liczba e.
13. Ciągi częściowe, punkty skupienia, Lemat Belzana Fer Strasa.
14. Zasada zbieżności, czyli kryterium Coszyjego dla ciągów.
15. Wyrażenie nieoznaczone.
16. Pojęcie funkcji jednej zmiennej, definicja, sposoby zadania, wykres, przykłady: sin, cos itd.
17. Granica funkcji, definicja Cauchyego i Heinego.
18. Prawo stronna i lewo stronna granica, twierdzenie.
19. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych.
20. Ciągłość funkcji, definicja, ciągłość jednostronna.
21. Punkty nieciągłości i ich klasyfikacja, przykłady.
22. Superpozycja funkcji, funkcja odwrotna, twierdzenia.
23. Pojęcie pochodnej, interpretacja fizyczna i geometryczna, twierdzenia.
24. Pochodna funkcji odwrotnej, przykład arc sin.
25. Tablica pochodnych.
26. Najprostsze reguły obliczania pochodnych.
27. Pochodne jednostronne, pochodne nieskończone, przykłady.
28. Różniczka, twierdzenie, pojęcie różniczkowalności funkcji.
29. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
30. Własności funkcji ciągłych, I twierdzenie Cauchyego – udowodnić.
31. Własności funkcji ciągłych, II twierdzenie Cauchyego – udowodnić.
32. Własności funkcji ciągłych, I, II twierdzenie Weierstrasa.
33. Twierdzenie Fermata z poprzedzającym lematem – udowodnić.
34. Twierdzenie Rola – udowodnić.
35. Twierdzenie Lagrange’a i wnioski – udowodnić, interpretacja geometryczna.
36. Obliczanie nieoznaczoności, reguły D’ Hospitala, przykłady.
37. Wzór Teylora (pięć podstawowych rozwinięć).
38. Badanie funkcji za pomocą pochodnych, ekstremum.
39. Wklęsłość i wypukłość krzywej, asymptoty.
40. Macierze, wyznaczniki. Własności wyznaczników.
41. Minory, dopełnienia algebraiczne, Twierdzenie Laplace’a, przykłady.
42. Rząd macierzy, działania na macierzach, macierz dołączona, macierz odwrotna, przykład.
43. Punkty równań linowych, Twierdzenie Kronekera Kapeliego, układ Kramera.

Profesorowie

Dano kawałek siatki inżynierowi, fizykowi i matematykowi, i poproszono, żeby
za pomocą tej siatki ogrodzili jak największy kawałek terenu. Inżynier
wytyczył schludny kwadrat, fizyk - idealne koło, a matematyk byle jak tę
siatkę porozstawiał, wszedł do środka i zadeklarował, że jest na zewnątrz...

Trzech mężczyzn obserwuje dom. W pewnym momencie do domu wchodzą dwie osoby.
Za pół godziny wychodzą trzy.
Biolog mówi: Rozmnożyli się.
Fizyk: Nie, to błąd pomiaru.
Matematyk: Jak do środka wejdzie jeszcze jedna to dom będzie pusty...

Matematyk i fizyk dostali po desce z dwoma wbitymi gwoździami tak, że jeden
jest wbity do końca a drugi trochę wystaje. Poproszono ich by je wyciagnęli.
Fizyk zadumał się, zastosował dźwignię i już pierwszego gwoździa nie ma, z
drugim tez jakoś siś wymęczył. Matematyk spojrzawszy na deskę po chwili
zadumy stwierdził:
- hmm... przypadek z gwoździem wbitym do końca jest ciekawszy.
I zajął się tym przypadkiem... Po długich męczarniach udało mu się wyciągnać
gwoźdz wbity do końca, został więc ten niedobity. Patrzy... myśli...
- hmm... a ten przypadek możemy sprowadzić do rozwiązywanego uprzednio
problemu.
I wbił gwóźdź do końca...

Rozmawiają dwaj profesorowie matematyki:
- Dasz mi swój nr telefonu ?
- No pewnie. Trzecia cyfra jest trzykrotnością pierwszej. Czwarta i szósta
są takie same. Druga jest większa o jeden od piątej. Suma sześciu cyfr to
23, a iloczyn 2160.
- W porządku, zapisałem - 256 343.
- Zgadza się. Nie zapomnisz?
- Skądże. To kwadrat 16 i sześcian 7.

Zamknieto malpe, fizyka i matematyka w trzech oddzielnych pomieszczeniach z
puszka jedzenia. Po miesiacu przychodzimy zobaczyc jak sobie poradzili.
Zagladamy do malpy - sciany poobijane, puszka zmaltretowana, rozwalona i
wyjedzona - malpa wesolo sie szczerzy :)... Zagladamy do fizyka - sciany
zapisane wzorami, wykresami, jakimis trajektoriami itp... na scianie jeden
slad po uderzeniu, a puszka precyzyjnie otwarta - fizyk sie szczerzy :)...
Zagladamy do matematyka... Puszka nietknieta a przed puszka martwy
matematyk. Na scianie tylko jeden napis - Dany mamy walec...

Al Capone (czy jakaś inna bestyja) porwał fizyka, inżyniera i chemika.
Wtrącono ich wszystkich do piwnicy; Al mówi:
- W niedzielę są wyścigi konne. Stawiam wszystko na jednego konia - i on
_musi_ przyjść pierwszy. Jak to zrobicie - wasza sprawa, macie 24 godziny.
Minęła doba, przyszło do prezentacji wyników. Inżynier kładzie na stół plany
ostróg, które przy każdym uderzeniu w końskie boki dają iskrę elektryczną;
chemik wyciąga karteczki ze wzorem rewelacyjnego, niewykrywalnego dopingu; a
fizyk... ...wyciąga z kieszeni kawałek kredy, podchodzi do ściany i zaczyna:
- Rozważmy konia o kształcie kuli, poruszającego się ruchem harmonicznym...

Matematyk i fizyk w jednym pokoju, na stole stoi wiadro z wodą, w pokoju
wybucha pożar. Co robi fizyk? Łapie za wiadro i gasi. Co robi matematyk?
Łapie za wiadro i gasi.
Matematyk i fizyk w jednym pokoju, pod stołem stoi wiadro z wodą, w pokoju
wybucha pożar. Co robi fizyk? Łapie za wiadro i gasi. Co robi matematyk?
Ponieważ w poprzedniej sytuacji mieliśmy już rozwiązanie więc przenosi
wiadro spod stołu na stół i łapie za wiadro i gasi.
Matematyk i fizyk w jednym pokoju,nie ma wiadra z wodą, w pokoju wybucha
pożar. Co robi fizyk? Ucieka. Co robi matematyk? Mówi:"przypuśćmy dla
dowodu, ze w pokoju istnieje wiadro z wodą...

Matematyk, Fizyk i Inżynier otrzymali identyczny problem do rozwiązania:
Udowodnić, że wszystkie liczby nieparzyste większe niż dwa są pierwsze.
Rozwiązali:
Matematyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie -
sprzeczność - twierdzenie jest fałszywe.
Fizyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie - błąd
przypadkowy eksperymentu, 11 jest pierwsza...
Inżynier: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 jest pierwsza,
11 jest pierwsza...

Matematyk i Inżynier byli na wykładzie u Fizyka. Temat był związany z teorią
Kulza-Kleina odnoszącą się do procesów fizycznych, które występują w
przestrzeniach 9-cio, 12-to i więcej wymiarowych. Matematyk siedzi i
delektujesię wykładem w sposob widoczny gołym okiem, podczas gdy Inżynier
marszczy brwi i wygląda na wielce zakłopotanego. Pod koniec wykładu Inżynier
ma już potworny ból głowy. Na zakończenie Matematyk komentuje wykład jako
niezwykle ciekawy. Inżynier zapytuje go:
- W jaki sposób zrozumiałeś, o czym on mowił?
Matematyk:
- Po prostu wyobrażałem sobie to.
Inżynier:
- Jak można sobie coś wyobrazić, co występuje w 9-cio wymiarowej przestrzeni
?
Matematyk:
- Po prostu najpierw wyobrażam to sobie w N-wymiarowej przestrzeni a potem
zakładam, że N=9.

Profesor matematyki nie mógł znaleźć pracy, wszędzie mówili, że nie stać ich
na tak wybitną osobistość. No to się wkurzył i zdesperowany poszedł do
urzędu pracy, powiedział, że skończył zawodówkę i szuka pracy jako
hydraulik. Udało się, dostał pracę. Za jakiś czas ktoś mądry wymyślił, że
żeby być hydraulikiem, to trzeba mieć maturę, no i wysłali całą brygadę, w
której pracował profesorek na wieczorowe kursy z matematyki. Na pierwszych
zajęciach nauczyciel wziął profesorka do tablicy i pyta jaki jest wzór na
pole koła. Profesorek na to, że nie wie, ale zaraz sobie wyprowadzi. No i
zaczyna, pół tablicy zabazgrał wzorami i coś mu nie wychodzi. Nagle słyszy
szept z pierwszej ławki: "Zmień granice całkowania..."

- Czy przez kazde trzy, dowolnie polozone w przestrzeni punkty mozna
poprowadzic prosta?
- TAK - ale jest jednen warunek! Prosta musi byc odpowiednio gruba...

Przychodzi ciag Cauchy'ego w przestrzeni zwartej do lekarza...
- Co pan taki ograniczony?

W szpitalu dla psychicznie chorych panuje duze zamieszanie, wszyscy pacjenci
gdzies uciekaja. Tylko jeden chory siedzi spokojnie na lawce. Podbiega do
niego kolega i krzyczy "stary uciekaj szybko, bo przyjechali lekarze z
Warszawy i wszystkich rozniczkuja". Na to wezwany spokojnie odpowiada "Nie
boje sie, jestem e^x".

tax:
Idzie Adam i Ewa przez Raj.
Ewa pyta Adama drżącym głosem:
- Adamie kochasz Ty mnie?
Adam odpowiada:
- A kogo mam kochać?

Profesorowie

było
Cytat:

Dano kawałek siatki inżynierowi, fizykowi i matematykowi, i poproszono,
żeby
za pomocą tej siatki ogrodzili jak największy kawałek terenu. Inżynier
wytyczył schludny kwadrat, fizyk - idealne koło, a matematyk byle jak tę
siatkę porozstawiał, wszedł do środka i zadeklarował, że jest na
zewnątrz...

Trzech mężczyzn obserwuje dom. W pewnym momencie do domu wchodzą dwie
osoby.
Za pół godziny wychodzą trzy.
Biolog mówi: Rozmnożyli się.
Fizyk: Nie, to błąd pomiaru.
Matematyk: Jak do środka wejdzie jeszcze jedna to dom będzie pusty...

Matematyk i fizyk dostali po desce z dwoma wbitymi gwoździami tak, że
jeden
jest wbity do końca a drugi trochę wystaje. Poproszono ich by je
wyciagnęli.
Fizyk zadumał się, zastosował dźwignię i już pierwszego gwoździa nie ma, z
drugim tez jakoś siś wymęczył. Matematyk spojrzawszy na deskę po chwili
zadumy stwierdził:
- hmm... przypadek z gwoździem wbitym do końca jest ciekawszy.
I zajął się tym przypadkiem... Po długich męczarniach udało mu się
wyciągnać
gwoźdz wbity do końca, został więc ten niedobity. Patrzy... myśli...
- hmm... a ten przypadek możemy sprowadzić do rozwiązywanego uprzednio
problemu.
I wbił gwóźdź do końca...

Rozmawiają dwaj profesorowie matematyki:
- Dasz mi swój nr telefonu ?
- No pewnie. Trzecia cyfra jest trzykrotnością pierwszej. Czwarta i szósta
są takie same. Druga jest większa o jeden od piątej. Suma sześciu cyfr to
23, a iloczyn 2160.
- W porządku, zapisałem - 256 343.
- Zgadza się. Nie zapomnisz?
- Skądże. To kwadrat 16 i sześcian 7.

Zamknieto malpe, fizyka i matematyka w trzech oddzielnych pomieszczeniach
z
puszka jedzenia. Po miesiacu przychodzimy zobaczyc jak sobie poradzili.
Zagladamy do malpy - sciany poobijane, puszka zmaltretowana, rozwalona i
wyjedzona - malpa wesolo sie szczerzy :)... Zagladamy do fizyka - sciany
zapisane wzorami, wykresami, jakimis trajektoriami itp... na scianie jeden
slad po uderzeniu, a puszka precyzyjnie otwarta - fizyk sie szczerzy :)...
Zagladamy do matematyka... Puszka nietknieta a przed puszka martwy
matematyk. Na scianie tylko jeden napis - Dany mamy walec...

Al Capone (czy jakaś inna bestyja) porwał fizyka, inżyniera i chemika.
Wtrącono ich wszystkich do piwnicy; Al mówi:
- W niedzielę są wyścigi konne. Stawiam wszystko na jednego konia - i on
_musi_ przyjść pierwszy. Jak to zrobicie - wasza sprawa, macie 24 godziny.
Minęła doba, przyszło do prezentacji wyników. Inżynier kładzie na stół
plany
ostróg, które przy każdym uderzeniu w końskie boki dają iskrę elektryczną;
chemik wyciąga karteczki ze wzorem rewelacyjnego, niewykrywalnego dopingu;
a
fizyk... ...wyciąga z kieszeni kawałek kredy, podchodzi do ściany i
zaczyna:
- Rozważmy konia o kształcie kuli, poruszającego się ruchem
harmonicznym...

Matematyk i fizyk w jednym pokoju, na stole stoi wiadro z wodą, w pokoju
wybucha pożar. Co robi fizyk? Łapie za wiadro i gasi. Co robi matematyk?
Łapie za wiadro i gasi.
Matematyk i fizyk w jednym pokoju, pod stołem stoi wiadro z wodą, w pokoju
wybucha pożar. Co robi fizyk? Łapie za wiadro i gasi. Co robi matematyk?
Ponieważ w poprzedniej sytuacji mieliśmy już rozwiązanie więc przenosi
wiadro spod stołu na stół i łapie za wiadro i gasi.
Matematyk i fizyk w jednym pokoju,nie ma wiadra z wodą, w pokoju wybucha
pożar. Co robi fizyk? Ucieka. Co robi matematyk? Mówi:"przypuśćmy dla
dowodu, ze w pokoju istnieje wiadro z wodą...

Matematyk, Fizyk i Inżynier otrzymali identyczny problem do rozwiązania:
Udowodnić, że wszystkie liczby nieparzyste większe niż dwa są pierwsze.
Rozwiązali:
Matematyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie -
sprzeczność - twierdzenie jest fałszywe.
Fizyk: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 już nie - błąd
przypadkowy eksperymentu, 11 jest pierwsza...
Inżynier: 3 jest liczbą pierwszą, 5 jest pierwsza, 7 też, 9 jest pierwsza,
11 jest pierwsza...

Matematyk i Inżynier byli na wykładzie u Fizyka. Temat był związany z
teorią
Kulza-Kleina odnoszącą się do procesów fizycznych, które występują w
przestrzeniach 9-cio, 12-to i więcej wymiarowych. Matematyk siedzi i
delektujesię wykładem w sposob widoczny gołym okiem, podczas gdy Inżynier
marszczy brwi i wygląda na wielce zakłopotanego. Pod koniec wykładu
Inżynier
ma już potworny ból głowy. Na zakończenie Matematyk komentuje wykład jako
niezwykle ciekawy. Inżynier zapytuje go:
- W jaki sposób zrozumiałeś, o czym on mowił?
Matematyk:
- Po prostu wyobrażałem sobie to.
Inżynier:
- Jak można sobie coś wyobrazić, co występuje w 9-cio wymiarowej
przestrzeni
?
Matematyk:
- Po prostu najpierw wyobrażam to sobie w N-wymiarowej przestrzeni a potem
zakładam, że N=9.

Profesor matematyki nie mógł znaleźć pracy, wszędzie mówili, że nie stać
ich
na tak wybitną osobistość. No to się wkurzył i zdesperowany poszedł do
urzędu pracy, powiedział, że skończył zawodówkę i szuka pracy jako
hydraulik. Udało się, dostał pracę. Za jakiś czas ktoś mądry wymyślił, że
żeby być hydraulikiem, to trzeba mieć maturę, no i wysłali całą brygadę, w
której pracował profesorek na wieczorowe kursy z matematyki. Na pierwszych
zajęciach nauczyciel wziął profesorka do tablicy i pyta jaki jest wzór na
pole koła. Profesorek na to, że nie wie, ale zaraz sobie wyprowadzi. No i
zaczyna, pół tablicy zabazgrał wzorami i coś mu nie wychodzi. Nagle słyszy
szept z pierwszej ławki: "Zmień granice całkowania..."

- Czy przez kazde trzy, dowolnie polozone w przestrzeni punkty mozna
poprowadzic prosta?
- TAK - ale jest jednen warunek! Prosta musi byc odpowiednio gruba...

Przychodzi ciag Cauchy'ego w przestrzeni zwartej do lekarza...
- Co pan taki ograniczony?

W szpitalu dla psychicznie chorych panuje duze zamieszanie, wszyscy
pacjenci
gdzies uciekaja. Tylko jeden chory siedzi spokojnie na lawce. Podbiega do
niego kolega i krzyczy "stary uciekaj szybko, bo przyjechali lekarze z
Warszawy i wszystkich rozniczkuja". Na to wezwany spokojnie odpowiada "Nie
boje sie, jestem e^x".

tax:
Idzie Adam i Ewa przez Raj.
Ewa pyta Adama drżącym głosem:
- Adamie kochasz Ty mnie?
Adam odpowiada:
- A kogo mam kochać?